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Nombre Asignatura: Cálculo I Sigla: MAT330

Índice temático:
1 Estudio de Funciones Reales 1.1 Concepto de Función. 1.2 Definición de función 1.3 Dominio y Recorrido de una función. 1.3.1 Dominio de una función. 1.3.2 Recorrido de una función. Función Lineal. 2.1. Función constante. Función Cuadrática. 3.1. Concavidad. 3.2. Vértice. Función Exponencial. FunciónLogarítmica. Álgebra de Funciones. 6.1 Operaciones con funciones. 6.2 Composición de funciones. Límite de una Función. 7.1 Introducción. 7.2 Propiedades de los límites. 7.3 Límite de Formas indeterminadas. 7.4 Límite al Infinito. 7.5 Límites Laterales. Continuidad de Funciones. 8.1 Tipos de discontinuidad. 8.1.1 Discontinuidad reparable. 8.1.2 Discontinuidad irreparable.

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Marzo 2011 / Programa de Matemática / Cálculo I

1.

Estudio de Funciones Reales.

1.1.

Concepto de Función.

El concepto de función es una de las ideas fundamentales en matemática. Casi cualquier estudio que se refiere a la aplicación de las matemáticas a problemas prácticos o que requiera el análisis de datos empíricos emplea este concepto matemático. Una función expresa laidea de que una cantidad depende o está determinada por otra. Por ejemplo:

1. El área de un círculo depende de la longitud de su radio; si se conoce la longitud del radio, podemos determinar su área.

2. El costo de producir cualquier artículo depende del número de artículos producidos. 3. Las calificaciones dependerán del tiempo que dedique el alumno al estudio.

4. Las ventas de un productodependen de su precio.

Entonces, podemos decir que una función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada uno y sólo un valor de salida.

ENTRADA

FUNCIÓN

SALIDA

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Marzo 2011 / Programa de Matemática / Cálculo I

1.2.

Definición de Función.

Una función f es una regla que asocia a cada número real x de un conjunto A ⊆ R un único número real f(x), llamadoimagen de x bajo f. Esquemáticamente podemos ver a una función f como: f: A⊆R→R

A⊆R

R

Otra forma de expresar funciones es por medio de una fórmula algebraica en términos de la variable independiente.

Ejemplo: Dada la función

f ( x) = 2 x 2 − 5 x + 1

Calcular f ( 2), f ( −2), f ( a ), f ( a + h )

a) f ( 2) = 2(2 ) − 5(2 ) + 1 = −1
2

b) f ( −2) = 2(− 2 ) − 5(− 2 ) + 1 = 19
2c)

f ( a ) = 2 a 2 − 5a + 1
2

d) f (a + h ) = 2(a + h ) − 5(a + h ) + 1 = 2

(a

2

+ 2ah + h 2 − 5a − 5h + 1

)

= 2a 2 + 4ah + 2h 2 − 5a − 5h + 1

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1.3.

Dominio y Recorrido de una función.

1.3.1.

Dominio de una función.

El Dominio de una función, es el conjunto de números reales para los cuales está definida lafunción. Se denota como:

Dom f ( x) = {x ∈ A / ∃ y ∈ B / f ( x) = y}
Ejemplo:

Dadas las siguientes funciones, obtenga su dominio.

a) f ( x) =

1 x −3

Esta función tiene la forma de un cuociente, entonces los valores de x que hagan que el denominador sea igual a cero se excluyen del dominio, esto es:

x−3≠ 0 x≠3

Luego el denominador será igual a cero cuando queda determinadocomo:

x = 3 , entonces el dominio

Dom f ( x) = R − {3}

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b) f ( x ) =

x −5

En esta función x puede tomar cualquier valor que haga que la raíz sea positiva o cero, para que la función pertenezca al conjunto de los reales. Entonces:

x −5 ≥ 0 x≥5

Dada la condición que hemos encontrado, el dominio de f (x ) es:

Dom f ( x) = {x∈ R / x ≥ 5}
ó

Dom f (x) = [5,+∞)
c) f ( x ) = x − 3

En esta función x puede tomar cualquier valor real, ya que la función no tiene ninguna restricción

Dom f ( x ) = R
Conclusión: En general, con respecto al dominio podemos concluir que:

• • •

Para las funciones de tipo polinómicas el dominio es el conjunto de los números reales. Para las funciones que contengan radicales de...