Induccion matematica



Inducción matemática
Examinaremos una propiedad de los enteros positivos, que nos permitirá establecer algunas fórmulas matemáticas mediante una técnica llamada inducción.
Tratemos de expresarel subconjunto de los enteros positivos, Z+, mediante los símbolos de desigualdad > y >=.
Z+ = {x ∈ Z / x > 0} = {x ∈ Z / x >= 1}
Ahora, hagamos lo mismo con los números racionales positivos y losnúmeros reales positivos.
Q+ = {x ∈ Q / x > 0}
R+ = {x ∈ R / x > 0}
No podemos representar los números racionales y reales positivos con el signo >=. Q+ y R+ no contienen elementos mínimos. Porejemplo, si q es un número racional positivo, q/2 es un número racional positivo más pequeo.
Principio del buen orden
Cualquier subconjunto no vacío de Z+ contiene un elemento mínimo.
Este principioes la base de una técnica de demostración conocida como inducción matemática. Esta técnica nos servirá con frecuencia para demostrar una proposición matemática general relacionada con los enterospositivos.
Principio de inducción matemática
Sea P(n) una proposición en la que aparece una o varias veces la variable n, que representa a un entero positivo.

a) Si P(1) es verdadera; y
b) siempreque P(k) sea verdadera (para algún k en Z+ particular, pero elegido al azar), entonces P(k+1) será verdadera;

entonces P(n) es verdadera para todo n ∈ Z+.
Demostración:
Sea P(n) una proposición conlas condiciones a) y b), y sea F = {t ∈ Z+ / P(t) es falsa}.
Queremos mostrar que F = ∅.
Suponemos que F ≠ ∅.
Entonces, por el principio del buen orden, F tiene un elemento mínimo s.
Como P(1) esverdadera, s ≠ 1, por lo que s > 1, entonces s-1 ∈ Z+.
Como s-1 ∉ a F entonces P(s-1) es verdadera.
Así, por b), P((s-1) + 1) = P(s) es verdadera lo que contradice que s ∈ F.
La contradicciónsurge de la hipótesis F ≠ ∅. Por lo tanto, F = ∅.
La condición a) se conoce como la base de la inducción, y la parte b) se conoce como el paso inductivo.
En la condición a) la elección de 1 no es...