induccion matematica

SOBRE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA

CARLOS S. CHINEA

SOBRE LA INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1.
2.
3.
4.
5.
6.

DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN.
LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS.
EL MÉTODO DE INDUCCIÓN.
EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO.
LA INDUCCIÓN Y LA GEOMETRÍA.
REFERENCIAS.
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1. DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN
Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar clasificarla en elconjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo
de “para todo elemento de ...”, o bien en el conjunto de las proposiciones particulares
en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.
De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza de las
correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la certeza de una o variasproposiciones particulares se puede pasar a la certeza de la correspondiente
proposición general o generalización.
El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de razonamiento lógico
que en general se denomina deducción si se trata del paso de una proposición general
a una o más proposiciones particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una
o varias proposicionesparticulares a una proposición general.
Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2” estamos
exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la
proposición “el número 246 es divisible por 2”.
El proceso por el cual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que
se verifica la proposición particular correspondiente, es loque entendemos por
deducción o proceso deductivo.
Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares
inferimos que se verifica una proposición general que las engloba, entendemos que
estamos realizando un proceso de inducción o proceso inductivo.
Si, por ejemplo, aceptamos como cierta la proposición general de que “todos los
suecos son rubios”, laveracidad de la afirmación correspondiente a la
particularización: “Gustav es sueco y por consiguiente rubio” es un proceso de

DIVULGACIÓN DE LA MATEMÁTICA EN LA RED

MARCHENA, JUNIO 2003

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deducción. Evidentemente, la certeza depende de que sea cierta la proposición general
de la que se ha partido.
En cambio, el proceso contrario, en elque partiríamos de la veracidad de la afirmación
“Gustav es sueco y rubio” no nos permitiría afirmar la veracidad de la proposición
general “Todos los suecos son rubios”. Ni tampoco negarla.
En general, pues, el proceso de inducción, por el que pasamos de una o varias
afirmaciones particulares a una afirmación generalizadora, no es tan sencillo. ¿Cómo
podríamos realizarlo de una formasegura?.

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2. LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS:
En la Axiomática de la Teoría de Conjuntos, en particular en el Sistema Axiomático de
Neumann-Bernays-Godel-Quine (N-B-G-Q) se establece el Axioma de Infinitud:

(∃x )(Cx ∧ Inducx)
“Existe al menos un conj unto de clases inductivas,esto es, de clases tales que
contener un elemento implica contener a su elemento siguiente”. Tal familia es
admitida, pues, como no vacía.
Los números naturales pueden ser introducidos con un conjunto N de clase inductiva,
como el mínimo conjunto inductivo. Se introduce el concepto de número ordinal y se
prueba que cualquier número natural es un número ordinal.
Peano (Giuseppe Peano,Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números
naturales mediante un sencillo teorema consistente en cinco afirmaciones
denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que
permiten, pues, estructurar algébricamente el conjunto N. Así, puede definirse el
conjunto N como un conjunto que verifica las siguientes c ondiciones axiomáticas:
1) Existe al menos un...