Induccion

Apuntes y Ejercicios Interesantes (creo) de Trigonometr´ ıa
Mauricio Godoy Molina
Resumen Es de suponerse que la gran mayor´ de los alumnos que est´n curıa a sando MAT-021 hayan visto como parte del temario de matem´ticas a en el colegio – o por lo menos yo s´ – lo que son los rudimentos de la ı trigonometr´ plana (la trigonometr´ esf´rica, a pesar de la belleza de ıa ıa e sus resultados y laimportancia pr´ctica que posee, ya no forma parte a de un curso usual de c´lculo). Es por esto que no es precisamente necea sario el introducir muchos conceptos o fundamentos te´ricos a algo que o para la mayor´ est´ bastante bien asimilado. ıa a

1.

Teoremas Fundamentales

A decir verdad pretend´ escribir una secci´n de preliminares que no preı o sentase gran dificultad conceptual y quesimplemente se dedicase a definir conceptos, pero por respeto a la gente que domina medianamente bien el tema y como una forma de presi´n a las personas que no han empezado a o estudiar a´n, decid´ eliminarla. u ı Como dicen cierto tipo de individuos: “ahora se ven los choritos”, porque esta es la parte realmente fuerte del tema de trigonometr´ los famosos Teoıa: remas del Seno, del Coseno y de la sumade ´ngulos; como veremos en la parte a de ejercicios, muchas de las identidades bien conocidas se pueden demostrar con bastante simpleza a partir de las siguientes proposiciones. Teorema 1.1 (del Seno) Si α, β y γ son los ´ngulos de un tri´ngulo oa a puestos a los lados a, b y c respectivamente, entonces es v´lida la siguiente a relaci´n: o sin α sin β sin γ = = a b c 1

Demostraci´n 1.1 Parahacer correctamente esta demostraci´n, como lo o o 1 indicase Alfred Bauer en su art´ ıculo , muchos textos de trigonometr´ (alıa gunos muy aceptados por la comunidad) cometen un grave pecado: prueban el Teorema del Seno para tri´ngulos acut´ngulos y obtus´ngulos, olvid´ndose a a a a de los tri´ngulos rect´ngulos. La verdad, nunca he visto un libro que pruebe a a en forma separada este Teoremapara tri´ngulos rect´ngulos, por lo tanto, a a har´ honor al profesor Bauer. e Caso Acut´ngulo: Sea ABC un tri´ngulo acut´ngulo (esto es, un tri´ngua a a a lo con todos sus ´ngulos agudos). Denotemos por ha , hb y hc las alturas a del tri´ngulo ortogonales a los lados a, b y c y que pasan por los puna tos A, B y C respectivamente. Dado que ABC es acut´ngulo, todas a las alturas cortan a los lados enalg´n punto diferente de los v´rtices u e (demostrar). Luego, se tiene que: sin α = hc b y sin β = hc sin α sin β =⇒ = a a b

Caso Obtus´ngulo: Sea ABC un tri´ngulo obtus´ngulo (esto es, un tri´ngua a a a a lo con un ´ngulo mayor que π y menor que π). An´logamente al caso a 2 anterior definiremos las alturas y los lados, con la salvedad que las alturas ha y hb no cortan al lado c, sino a susproyecciones. La relaci´n o entre los senos de α y β y los lados a y b (suponiendo que γ es obtuso) es igual que en el caso del tri´ngulo acut´ngulo; por lo tanto nos a a preocuparemos de la relaci´n entre ´stos y el seno de γ y el lado c. o e Evidentemente se tiene que sin(π − γ) = hb a y sin(π − γ) = ha b

Dado que sin(π − γ) = sin γ como puede comprobarse f´cilmente en a el c´rculo unitario (puesel seno se representa en la ordenada y dado ı que γ es obtuso, ´ste se encuentra en el segundo cuadrante y π − γ e en el primero, por lo tanto, ambas ordenadas coinciden). Usando las relaciones que obviamos para las alturas en los lados a y b se deduce de inmediato el Teorema para el caso obtus´ngulo. a
Alfred Bauer, University of North Carolina, THE PROOF OF THE LAW OF SINES, from AmericanMathematical Monthly, vol. 59 (1952), p. 319
1

2

Caso Rect´ngulo: Sea ABC un tri´ngulo rect´ngulo (es decir, un tri´ngua a a a π π lo con un ´ngulo exactamente igual a 2 ). Supongamos γ = 2 . En este a caso, las alturas ha y hb coinciden con los lados b y a respectivamente, por lo tanto, se tienen las siguientes relaciones (usando adem´s el hecho a de que sin π = 1): 2 sin α = a c sin β = b...