Inducción
PROBLEMAS DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1
GUSTAVO BALMORI NEGRETE 17 agosto 2012
PROBLEMAS
DEMOSTRAR QUE LAS SIGUIENTES PROPOSICIONES SE VERIFICAN, POR MEDIO DE INDUCCIÓNMATEMÁTICA
2
PROBLEMA 01
3
PROBLEMA 02
1
2
2
2
3
2
... n
1
2
2
n n 1 2n 1 6
1 1
HIM
n 1
P(1): P(k):
1 2 3 6
2
1
2
2
2
3
2... k
Por demostrar (tesis) P(k+1):
k k 1 2k 1 6
2
1 2 3 ... k
1 2 3 ... k
2 2 2 2
2
2
2
2
(k 1)
2
Demostración a partir de la HIM
k 1 k 2 2k 3 6
k k 1 2k 1 6
k +1k +1
2
2
k k 1 2k 1 6 k 1 6 k 1 k 2k 1 6 k 1
6
4
Continua PROBLEMA 02
k 1 k 2k 1 6
6 k 1
k 1 2k
2
7k
6
6
k 1 k 2 2k 3 6
1
2
2
2
3
2
... k2
( k 1)
2
5
1
3
2
3
3
3
... n
3
3
2
n n 1 4
2
2
PROBLEMA 03
n 1
1 1
P(1): P(k):
1
12 1 1 4
1 3 2 3 3 3 ... k 3
P(k+1):
3
k2 k 14
3
2
HIM
Por demostrar (tesis)
1
3
2
3
3 ... k
3
k 1
3
k 1
2
2
k 2 4
2
Demostración a partir de la HIM
1 3 2 3 3 3 ... k 3 k +1
k2 k 1 4
k2 k 1k +1
4 k 1
3
2
3
6
4
Continua PROBLEMA 03
k2 k 1
k 1 k 1
2
2
4k 1 4
3
k2 4
2
4k 1
2
k
4k 4
4
1
3
2
3
3
3
... k
3
k 1
3k 1
2
k 2 4
2
7
PROBLEMA 04
2 > 100
n
P(1): 21> 100
Falso
Por demostrar, tesis P(k+1): 2 k+1> 100 A partir de la HIM (2) 2 k > (2) 100 2 k+1 > 200 2>1 200 > 100 2 k+1 >200 > 100 2 k+1 > 100
P(2): 22 > 100
P(3): 23 > 100
Falso
Falso
P(4): 24 > 100
P(5): 25 > 100
Falso
Falso
P(6): 26 > 100
128 > 100 n ≥7
Falso
P(7): 27 > 100 Verdad
P(k):2k > 100
HIM
Se verifica para todo
n ≥7
8
PROBLEMA 05
3 es factor de n3 – n + 3
P(1): 13 -1 + 3 = 3
verdadero
n
1
P(k): k3 – k + 3 tiene al 3 como factor. Por demostrar...
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