inecuaciones


TEMA: INECUACIONES

Definición: Es una desigualdad.

Desigualdad: Es una relación que nos indica que una cantidad o expresión es mayor o menor que otra.
Estos se establecen solo en el campo de los números reales.

Signos: (Sirven para designar a las desigualdades)

  diferente a
  mayor que
  menor que

También:

  mayor o igual que
  menor o igual que

-  + | | | | | | | | |
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4





 Si a es (+)  a  0
 Si a es (-)  a  0


Definiciones:
1. Se dice que una cantidad “a” es mayor que otra cantidad “”, si la diferencia (a – b) es una cantidad positiva, es decir:

a  b si a – b  0
Ejm: -2  -7  porque -2 – (-7) = 5 , es (+)

2. En caso contrario:

Si a  ba – b  0
Ejm: -3  -1  -3 – (-1) = -2, es (-)

3. Si: a b  c  d son desigualdades de sentido contrario.


Propiedades de las Desigualdades

1. Sea: a  b
Si se le suma o resta: c

a  c  b  c (NO VARIA)

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, el sentido de la desigualdad NO VARIA.

Si: a  b  ac  bc
y c  0

3. Si a  b  c  0

Cumple:
se invierte

4. Si a  b  b  c

 a  b  c  a  c

5. Si a  b  c > d

Se cumple: a + c  b + d

6. Si a  b  c  d

Se cumple: a – c  c - d

7. Si a  b  c  d  b  0  d  0

Se cumple: ac  bd
Consecuencias: Si a  b siendo b  0



8. Si: a  b  c  d siendo b  0  c  0Se cumple: 


CLASES DE DESIGUALDADES:

1. Desigualdad condicional o inecuaciones: Son aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros.

Ejm: 3x – 2  13
x  5

2. Desigualdad Incondicional: Toman cualquier valor o sistemas de valores.

Ejm:
a2 + 5  0
“a” tomacualquier valor real.

Solución; a2  -5
Pero como a2  0  0  -5
a2  -5 es OBVIO

Clasificación de las Inecuaciones de acuerdo a sus soluciones:

1. Inecuación Posible:

a. Inecuación determinada: Sea:

(x – 2) (x – 4)  0





Porque 2  x  4 (ya esta determinada)

b. Inecuación Indeterminada: Sea (x – 3)2 + 1  0, cuando satisface para cualquier valor de x.2. Inecuación Imposible o absurda: Cuando carece de soluciones:
Ejm:
X2  -2 (es imposible)

a. Inecuación equivalente: Cuando tiene las mismas soluciones.}
Ejm:

3x – 5 2x + 1
5x + 2  4 (x + 2)

Inecuaciones de Primer Grado con una incógnita

Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la forma:

ax + b  0 ó ax + b  0Si: ax + b  0

Si: ax + b  0


Si a = 0, la inecuación se reduce a:

b  0

 Para todo valor de x; es positivo, lo cual se denomina ecuación indeterminada.
Ejm:

Resolver la inecuación:


Solución: 5 – 6 – 2 – 3 | 30

Multiplicando por 30:


12x – 6 + 15x – 10  30x + 15 + 20
-3x  51
x  -17

Graficando:

| | | |
-  -17 0 +  -  x  -17
ó x   -, -17 
Inecuaciones de 2do grado:

Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre a:

ax2 + bx + c   0 ; a  0

El conjunto solución: {x  R / ax2 + bx + c   0} y dependerá de la naturaleza del discriminante.
 = b2 – 4ac

Luego:

Caso 1: Si  = b2 – 4ac  0 =  ax2 + bx + c, tiene dos raíces reales diferentes, por ejemplo x1, x2, con x1  x2entonces.

ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)
1.1) ax2 + bx + c  0  a (x - X1) (x – x2)  0
a) Si a  0  x  - , x1 U x2 , 
b) Si a  0  x  x1 , x2


1.2) Ax2 + bx + c  0  a (x – x1) (x – x2)  0
a) Si a  0  x  x1 , x2
b) Si a  0  a (x – x1) (x – x2)  0

Caso 2: Si  = b2 – 4ac = 0  ax2 + bx + c, tiene dos raíces iguales, es decir: x1 = x2, luego:...