Inecuaciones

TALLER
INECUACIONES
Objetivos
Encontrar la solución de una inecuación lineal
Encontrar la solución de una inecuación lineal de la forma a x + b y 
mayor que
≥
mayor o igual que
Por ejemplo:
, etc. ...
Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas
Las desigualdades en las que interviene una o más variable se denominan inecua­cio­nes.
Propiedades de lasdesigualdades:
Se denominan también transformaciones de equivalencia.
Suma: si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma expresión o cantidad, la desigualdad no varía:

Transposición: consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros desaparezca del mismo y aparezca en el otromiembro:

Producto: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una cantidad positiva, la desigualdad no varía, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia el sentido de la desigualdad:
, al multiplicar por una cantidad negati­va cambia el sentido de la desigualdad.
, si la cantidad es positiva se conserva el sentido original de la desigualdad.
Simplificación: si se dividen losdos miembros de una desigualdad por una cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:
,
si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.
Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:
Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o expresión algebraica, la inecuación que resulta esequivalente a la dada.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua­ción por una misma cantidad positiva y no nula, la inecuación que resul­ta es equivalente a la dada.
Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecua­ción por una misma cantidad negativa, la inecuación que resul­ta es de sentido contrario a la dada.
La solución de una desigualdad es el conjunto de valoresde la variable que cumplen las condiciones establecidas por medio de los signos indicados.
Podemos expresar la solución de una desigualdad mediante:
1. Una representación gráfica.
2. Un intervalo.

Ejemplos
1) Resolver 2x - 3 > x + 5
Restando a ambos lados el término x y sumando 3 a ambos lados nos queda
2x –x -3 > x –x + 5
x – 3 > 5 sumando a ambos lados 3 tenemos
x > 8
S=

2)Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Sumando -5 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:


Multiplicando por a ambos miembros de la ecuación para obtener:


S=



3) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y grafíquelo.


Sumando 2 y a ambos miembros de la inecuación se obtiene:


Sumando -7 a ambos miembros de lainecuación se obtiene:


Multiplicando por a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Note que se multiplicó por un número negativo y se invirtió el sentido de la inecuación.
El conjunto solución es entonces; S=



4) Dada la siguiente inecuación . Halle el conjunto solución y grafíquelo.
Se tiene que tener una expresión lineal en la inecuación, por tanto se debe multiplicar a ambosmiembros por la variable x. Pero como se desconoce el signo de esta variable se deben considerar dos casos.
Caso 1: Cuando
Caso 2: Cuando
El caso no se considera porque no se puede dividir por cero.
Caso I: Al multiplicar por el sentido de la inecuación no se altera, obteniéndose:

Multiplicamos por a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Para el Caso 1 se obtiene una soluciónparcial que llamaremos , la cual debe incluir todos los números reales que cumplan con:
y
Si es el conjunto solución de y el conjunto solución de entonces la solución parcial será: .
=
=
==

Caso 2: Al multiplicar por el sentido de la inecuación se invierte obteniéndose:

Multiplicamos por a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Para el Caso 2 se obtiene una solución...