Inferencia Estadística Estimación De Una Proporción

13

INFERENCIA ESTADÍSTICA:
ESTIMACIÓN DE UNA PROPORCIÓN

P ágina 298
¿Cuántas caras cabe esperar?
I

El intervalo característico correspondiente a una probabilidad del 95% (consideramos
“casas raros” al 5% de los casos extremos) es:
50 ± 1,96 · 5 = (40,2; 59,8)
Esto significa que en el 95% de los casos en que tiremos 100 monedas, el número de
caras que obtendremos será mayor que 40y menor que 60. Cualquier otro resultado
será un “caso raro”.

Página 299
Un saco de alubias
a) p =

500
= 0,05
10000

b) µ = 600 · 0,05 = 30;

σ = √ 600 · 0,05 · 0,95 = √ 28,5

5,34

c) El intervalo característico correspondiente a una probabilidad del 99% es:
30 ± 2,575 · 5,34 = (16,25; 43,75)
d) En el 99% de los casos en que saquemos 600 judías de esa saco, el número dejudías
negras será mayor que 16 y menor que 44. Cualquier otro resultado será un “caso raro” (llamando “casos raros” a ese 1% de casos extremos).
Peces en un pantano
La muestra tiene 514 peces, de los cuales hay 37 marcados. La proporción de peces mar37
cados en la muestra es: pr =
= 0,072. El valor de la proporción de peces marcados
514
349
en el pantano es pr =
, donde N es el número total depeces.
N
Aunque este problema se resolverá de forma completa (mediante un intervalo de confianza) al terminar la unidad, podemos suponer que la proporción de peces marcados en
la muestra y en el pantano será “aproximadamente” la misma; es decir:
Unidad 13. Inferencia estadística: estimación de una proporción

1

37
514

349
→N
N

4 848,27 → N

4848 peces

(Al considerar unaprobabilidad determinada, daremos un intervalo de confianza, obteniendo un resultado más preciso que este).

P á gina 301
1 La variable x es binomial, con n = 1 200 y p = 0,008.
a) Calcula la probabilidad de que x sea mayor que 10.
b) Halla el intervalo característico para una probabilidad del 95%.
Como np = 9,6 > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media
µ = np = 9,6 y dedesviación típica σ = √ n p q = √ 1 200 · 0,008 · 0,992 = 3,09.
Es decir:
x es B (1 200; 0,008) → x' es N (9,6; 3,09) → z es N (0, 1)

[

a) P [x > 10] = P [x' ≥ 10,5] = P z ≥

]

10,5 – 9,6
= P [z ≥ 0,29] =
3,09

= 1 – P [z < 0,29] = 1 – 0,6141 = 0,3859
b) Para una probabilidad del 95%, zα/2 = 1,96.
El intervalo característico será:
(9,6 – 1,96 · 3,09; 9,6 + 1,96 · 3,09); es decir:(3,54; 15,66)
2 Si tenemos un dado correcto y lo lanzamos 50 veces:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que “el 1” salga más de 10 veces?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que salga “múltiplo de 3” al menos 20 veces?

(

o
a) Llamamos x = “n- de veces que sale el 1”; así, x es B 50;

)

1
.
6

Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media
µ = 50 ·

1
= 8,33 y dedesviación típica σ =
6

(

x es B 50;

1
6

)

√

15
50 · — · — = 2,64; es decir:
66

→ x' es N (8,33; 2,64) → z es N (0, 1)

[

P [x > 10] = P [x' ≥ 10,5] = P z ≥

]

10,5 – 8,33
= P [z ≥ 0,82] = 1 – P [z < 0,82] =
2,64

= 1 – 0,7939 = 0,2061
o
b) Llamamos x = “n- de veces que sale múltiplo de 3”. La probabilidad de obtener

un múltiplo de 3 en una tirada es p=

(

)

2
1
1
= . Así, x es B 50;
.
6
3
3

Unidad 13. Inferencia estadística: estimación de una proporción

2

Como np > 5 y nq > 5, podemos aproximar mediante una normal de media
1
= 16,67 y de desviación típica σ =
3

µ = 50 ·

(

x es B 50;

1
3

)

√

12
50 · — · — = 3,33; es decir:
33

→ x' es N (16,67; 3,33) → z es N (0, 1)

[

P [x ≥ 20] = P[x' ≥ 19,5] = P z ≥

]

19,5 – 16,67
= P [z ≥ 0,85] = 1 – P [z < 0,85] =
3,33

= 1 – 0,8023 = 0,1977

P á gina 303
1 Como sabemos, en un dado correcto la proporción de veces que sale el 5 es
)
1/6 = 0,1 6. Halla los intervalos característicos correspondientes al 90%, 95% y
99% para la “proporción de cincos”, en tandas de 100 lanzamientos de un dado correcto.
Las proporciones de...