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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Hemos visto el problema de encontrar el producto, dados los factores. La factorización es
encontrar los factores, dado el producto.
Se llaman factores de una expresión algebraica aquellos que multiplicados entre sí dan
como resultado la primera expresión.
Ejemplo: sí; (x + 2)(x + 3) = x 2 + 5x + 6Tenemos que, x + 2 y (x + 3) son factores de x 2 + 5x + 6 , así pues, factorizar una expresión
algebraica es convertirla en el producto indicado.
Existen diversos procedimientos para descomponer en factores un producto, los
mencionaremos, sin perjuicio de que en algunos casos podamos combinar dos o más de estos
procedimientos.

1.

FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN.
Cuando en los diversostérminos de un polinomio participa un mismo factor, se dice que se
le saca como factor común, para lo cual, se escribe e inmediatamente, después, dentro de
un paréntesis se anotan los cocientes que resulten de dividir cada uno de los términos del
polinomio entre el factor común.
Ejemplos:
Factorizar los siguientes polinomios:
2

a)

a + 2a = a(a + 2)

b)

10b + 30ab = 10b(1 + 3ab)

c)10a + 5a + 15a

d)

5a b x + 15a bx − 35a b x y = 5a bx(ab + 3a x − 7bx y )

e)

12a b − 30a b + 18ab − 42a b = 6ab(2ab − 5a b + 3b − 7a )

f)

15a x − 30a x + 105a x − 75a x = 15a x (1 − 2x + 7x − 5x )

g)

− 44ax + 22a bx

h)

x

2

2

3

2

3

4

2

= 5a(2a + 1 + 3a )
2

2

2

3

3

2

2

2

3

2

4

5

4

2

2

n

m +n

ny −x

2

2n

y

m +n

n +1

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

4

3

n

2m

2

4

− 66a x

−x y

2

2

2

n+ 2

n

5

2

3

2

3

2

n

5

3

2

2

3

2

= 22ax ( −2 + abx − 3a x )
m

= x y(x y

n −1

n

−x y

m+ n −1

−y

2m −1

)

4-1

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIOSUPERIOR

2.

FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS

FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES.
Como su nombre lo indica consiste en aplicar los productos notables ya conocidos.

a).

Factorización de una diferencia de cuadros.
Se sabe que: a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) ; por lo tanto una diferencia de cuadrados, es igual al
producto de dos binomios conjugados.
Ejemplos:
2

1)

9x − 4y

2)

25x

24

2

2

− 16a b

4

2

2

2

2

2

= (5x) − (4ab) = ( 5x + 4ab)(5x − 4ab)

2 2

2

2

2

2

2

2

x − 16 = (x ) − (4) = (x + 4)(x − 4) = (x + 4)[(x) − (2) ] =

3)

2

= (x + 4)(x + 2)(x − 2)
x

4)

2

−

16

b).

2 2

= (3x) − (2y ) = (3x + 2y )(3x − 2y )

y

2

2

 x  −  y  =  x + y  x − y 
   


 4   3  4 3  4 3 

2

=

9

Factorización de un cuadrado perfecto:
Del desarrollo del binomio al cuadrado se tiene:
2

2

(a + b) = a + 2ab + b

2

y también (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, así tenemos
que 4a 2 es cuadrado perfecto porqué es el cuadrado de 2a .
Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto,una vez que ha sido identificado como tal,
con apoyo de los productos notables, se extrae raíz cuadrada al primero y tercer termino
del trinomio separándose estas raíces por medio del signo del segundo termino y elevando
este binomio al cuadrado.
Ejemplos:
2

2

1)

m + 2m + 1 = (m + 1) = (m + 1)(m + 1)

2)

4x + 25y − 20xy . Ordenando y factorizando, se tiene:

2

2

2

4x −20xy + 25y
2

2

2

2

= (2x − 5y) = (2x − 5y)(2x − 5y)

4

2 2

2

3)

1 − 16ax + 64a x

4)

2

9x − 12xy + 4y = (3x − 2y) = (3x − 2y)(3x − 2y)

2

2

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

= (1 − 8ax ) = (1 − 8ax )(1 − 8ax )
2

4-2

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FATORIZACIÓN DE POLINIMIOS

2

2

2

5)...