Informatica

Taller 1 de m´todos num´ricos
e
e
Jaime Andr´s Gaviria Bedoya
e
23 de marzo de 2012
Nota: En los c´culos en la calculadora siempre que sea posible ingrese en la calculadora la
a
expresi´ncompleta y no por partes. En ambos ejercicios para el c´lculo de los errores trabaje
o
a
con los valores verdaderos de las funciones.

1.

Primera parte: Teor´ de errores
ıa

1. Demuestre quelas siguientes funciones tienen al menos una ra´ en los intervalos dados:
ız
a ) f (x) = xcosx − 2x2 + 3x − 1 [0.2, 0.3] y [1.2, 1.3]
b ) f (x) = (x − 2)2 − lnx [1, 2] y [e, 4]
c ) f (x) = 2x cos2x − (x − 2)2 [2, 3] y [3, 4]
2. Demuestre que f (x) se anula al menos una vez en los intervalos dados:
a ) f (x) = 1 − ex + (e − 1)sen(πx/2) , [0, 1]
b ) f (x) = (x − 1)tanx + xsenπx , [0, 1]
c )f (x) = xsenπx − (x − 2)lnx , [1, 2]
√
3. Obtenga el tercer √
polinomio de Taylor P3 (x) para la funci´n f (x) = x + 1 alrededor de
o
√
x0 = 0. Aproxime 0.5, 1.5 usando el polinomio y calculelos errores reales.
4. Use el t´rmino del error de un polinomio de Taylor para estimar el error implicado al usar
e
senx ≈ x para aproximar sen1◦ .
5. Use el polinomio de Taylor alrededor de π/4para aproximar cos42◦ con una precisi´n de
o
−6
−6
10 (o sea el valor absoluto del error de truncamiento sea menor a 10 ).
6. Realice los siguientes c´lculos (i) en forma exacta, (ii) mediante unaaritm´tica de truna
e
camiento a 3 cifras y (iii) con una aritm´tica de redondeo. Calcules los errores relativos en
e
(ii) y (iii):
a)
b)

4
5
4
5

+
×

1
3
1
3

c) ( 1 −
3

3)
11

+

3
20

7. Evalue el polinomio
f (x) = x3 − 6.1x2 + 3.2x + 1.5
en x = 4.71, mediante una aritm´tica:
e
a ) Con error de truncamiento a 3 cifras
b ) Con error de redondeo a 3 cifrasCalcule em cada caso el error real y compare.

2.

M´todos num´ricos para hallar ra´
e
e
ıces

8. Determine las raices reales de f (x) = −0.6x2 + 2.4x + 5.5:
a ) Usando la f´rmula...