informe de seleccion de candidato finalista del proceso

PROPIEDADES DE LA DERIVADA.
GRADIENTES Y DERIVADAS
DIRECCIONALES

CONCEPTOS BÁSICOS

En funciones de varias variables, la operación de la derivación disfruta de propiedades parecidas a las que tiene en funciones de una variable, lo que resulta de muy fácil aplicación en casos de derivadas de sumas, productos y cocientes de funciones. La operación que quizá acarrea ciertas dificultadesoperacionales es la derivación de composición de funciones. Para dos funciones f y g que se pueden componer entre sí, se verifica la siguiente forma matricial de la regla de la cadena:



En la práctica, sin embargo, raras veces practicamos el producto matricial, sino que aplicamos el primero y segundo caso especial de la regla de la cadena:



En el segundo caso, podemos escribir expresionesanálogas para las derivadas de h respecto a y y respecto a z.

El gradiente de una función de Rn en R es el vector de sus derivadas parciales:



Las derivadas direccionales, notadas Duf, son límites de cocientes incrementales según una dirección de acercamiento u a un punto del dominio. Si tomamos la forma normalizada (vector unitario) de la dirección u, se puede mostrar que Duf(x0) =f(x0)•u; y el máximo valor de la derivada direccional se obtiene en la dirección del vector gradiente.

Si se tiene una superficie definida por F(x; y; z) = 0, el gradiente F es un vector normal a la superficie en cualquier punto.


PROBLEMAS

1.) Verificación de la regla de la cadena. Verificar la regla de la cadena para h/x donde h(x; y) = f(u(x; y); v(x; y)) y



SOLUCIÓN

Parahacer la verificación, primero aplicaremos la fórmula de la regla de la cadena y luego haremos el reemplazo de u y v en f y haremos el cálculo como derivada parcial.

Aplicando la regla de la cadena tenemos:


Operando tenemos:



Ahora haremos el mismo cálculo reemplazando u y v en f y derivando parcialmente:



Esta última expresión es equivalente a la que habíamos hallado por reglade la cadena, con lo cual hemos verificado esta última.


2.) Forma matricial de la regla de la cadena. Sea

f(u; v; w) = (eu-w; cos(v + u) + sen(u + v + w))
g(x; y) = (ex; cos(y - x); e-y)

Calcular f º g y D(f º g)(0; 0).

SOLUCIÓN

Evaluando g en el origen tenemos:

g(0; 0) = (1; 1; 1)

Estos últimos serán los valores de u, v y w correspondientes a valores nulos de x y y, conlo cual:

f º g(0; 0) = f(1; 1; 1) = (1; cos1 + sen3)

En cuanto a la matriz de derivadas, tendremos:



3.) Sea g(x) = f(x; y(x); z(x; y(x)). Sea también y(1) = 0, z(1; 0) = 1, z(1; 0) = (1; 2), f(1; 0; 1) = (1; 2; 3); g’(1) = 5. Determinar y’(1).

SOLUCIÓN

Por la regla de la cadena tenemos:





Nótese que el punto con el cual estamos trabajando es (x; y; z) = (1; 0; 1).4.) Aplicación a un problema físico. Se ensaya a la tracción un monocristal de un metaloide de forma prismática rectangular con una base cuadrada de 2 cm de lado y una altura de 15 cm. Debido a la anisotropía (distinto comportamiento según las direcciones) del material, se ha observado que uno de los lados de la base se deforma dos veces más rápido que el otro. Si en un momento dado sedetermina que por efecto de la tracción la longitud de la pieza aumenta a una tasa de 1 mm/s, hallar la tasa de variación de ambos lados de la base.

SOLUCIÓN

Llamemos x al lado de la base que se deforma más lento, y al que se deforma más rápido y z a la altura de la pieza. El volumen de la pieza será:

V(x; y; z) = xyz

Por la regla de la cadena, la variación de volumen con el tiempo vendrádada por:



Puesto que se trata de un sólido, el material es incompresible y su volumen permanecerá constante, siendo su derivada con respecto al tiempo nula. Introduciendo este hecho y los datos del problema tendremos:




5.) Gradiente y derivada direccional. Calcular las derivadas direccionales de las siguientes funciones a lo largo de vectores unitarios en los puntos indicados y...