Informe Steiner

PENDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

OBJETIVOS
Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de éstos calcular los momentos de inercia.

MATERIALES
. Una barra metálica con agujeros circulares
. Un soporte de madera con cuchilla
. Dos mordazas simples
. Un cronómetro digital
. Una regla milimetrada
. Un vernier

FUNDAMENTO TEÓRICO
El péndulo físicoes un sistema con un solo grado de libertad; el correspondiente a la rotación alrededor del eje fijo (Figura 1).












Figura 1: Péndulo Físico

La posición del péndulo físico queda determinada, en cualquier instante, por el ángulo θ que forma el plano determinado por el eje de rotación y el centro de gravedad (G) del péndulo con el plano vertical que pasa por el eje de rotación.
Llamaremosh a la distancia del centro de gravedad (G) del péndulo al eje de rotación ZZ′. Cuando el péndulo está desviado de su posición de equilibrio (estable) un ángulo , actúan sobre él dos fuerzas ( y) cuyo momento resultante con respecto al punto O es un vector dirigido a lo largo del eje de rotación ZZ′, en el sentido negativo del mismo.

…………(1)
Si es  elmomento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos  a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento de rotación del péndulo:

…………(2)
Que podemos escribir en la forma:

…………(3)
Que es una ecuación diferencialde segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen (θ) ≈ θ y la ecuación (3) adopta la forma:

Que corresponde a un movimiento armónico simple.
El periodo de las oscilaciones es……………….. (4)

El teorema de Huygens-Steiner, teorema de los ejes paralelos es un teorema usado en la determinación del momento de inercia de un sólido rígido sobre cualquier eje, dado el momento de inercia del objeto sobre el eje paralelo que pasa a través del centro de masa y de la distancia perpendicular (r) entre ejes. 

……………. (5)




CÁLCULOS Y RESULTADOS
1.
Tabla N°1: Datos tomados experimentalmente
#de hueco
L(cm)
t1(s)
t2(s)
t3(s)
# de oscilaciones
Tpromedio
(s)
1
5,84
27,30
27,58
27,48
10
2,75
2
10,79
20,92
20,72
20,65
10
2,08
3
15,79
18,13
18,09
18,29
10
1,82
4
20,79
16,78
16,98
16,82
10
1,69
5
25,79
16,12
16,28
16,36
10
1,63
6
30,79
16,14
16,24
16,10
10
1,62
7
35,74
16,14
16,10
16,17
10
1,61
8
40,79
16,39
16,32
16,42
10
1,64
9
45,79
16,54
16,53
16,67
10
1,66
10
50,79
16,96
16,90
16,9810
1,70

2
.

b. A partir de la ecuación (14.1), con I1 dada por la ecuación (14.2), encuentre el valor de L para que el periodo tenga el mínimo valor.

De (14.1): T=2π(I1/MgL )1/2

⟹T2=4π2I1/MgL  I1=T2MgL/4π2
De (14.2): I1=IG+ ML2
⟹T2=4π2 (IG+ML2)/MgL

MgLT2=4π2IG+4π2ML2

0=L24π2/g-LT2+4π2IG/Mg

Al dividir entre el término 4π2/g nos queda:
0=L2-LT2g/4π2+IG/M
Completando cuadradostenemos:
(L-T2g/8π2)2-T4g2 /64π4+IGM=0

Este término debe ser igual a 0 para T mínimo
⟹Lmin=0,3176 m , Tmin2=2,5568 s
c. Compare el valor de L obtenido en (b) con el que obtiene de la gráfica en (a).

A partir de la gráfica 1 obtuvimos la siguiente ecuación:

y = 11.844x2 - 8.3452x + 2.9889

Como x = L; igualamos la ecuación a 0 y completamos cuadrados, para poder obtener un Lmin a partir de lagráfica.

Lmin=0,3405 m

Entonces teniendo el valor de Lmin experimental y Lmin real, podemos calcular un porcentaje de error:

%error=(0,3405-0,31760)/0,3176.100%

%error=7,21%
d. ¿Cuál es el período para esta distancia?
Con la ecuación y = 11.844x2 - 8.3452x + 2.9889
T=1,52 s

e. De su gráfico, ¿puede deducir dos puntos de oscilación con el mismo período? Indíquelos.
Los puntos que tienen...