Informe

1. Demostrar matemáticamente el comportamiento de un circuito RLC en paralelo. Se deberá resolver la ecuación diferencial de segundo orden y obtener las respuestas para un sistema amortiguado,sub-amortiguando y críticamente amortiguado. Dibujar las respuestas de volteje respecto al tiempo , v(t) para cada caso.(Describir lo mas importante).

Partimos del circuito RLC en paralelo.Entonces a partir de las corrientes de Kirchhoff se deduce la formula.

[1]

El signo menos se da por la dirección supuesta de i.
Para resolver laecuación [1] tendremos las siguientes condiciones.

i() = [2]

v() = [3]

Luego debemos derivar en ambos lados a la ecuación [1] con respecto al tiempo y obtendremos una ecuacióndiferencial de segundo orden.

[4]

donde v(t) es la respuesta deseada.

Lo siguiente que debemos hacer es resolver la ecuación [4], para ello supondremos que:

v = [5]

deesta forma A y s serán números complejos, luego procederemos a sustituir la ecuación [5] en la ecuación [4] que nos da lo siguiente.


hallando factor común



Luego como

+ [6]Esta expresión esta denominada como ecuación característica, y como esta es una ecuación cuadrática tendremos dos soluciones que serán s1 y s2:

s1 = [7]s2 = [8]

luego podremos usar cualquiera de estos dos valores para s en la solución supuesta de tal forma que satisfaga a la ecuación diferencial dada convirtiéndose en una solución valida.Sustituyendo s por en la ecuación [5] obtenemos que:



y luego s2 y tendremos



Entonces la primera satisface a la ecuación diferencial



y la segunda a



Luego sumando lasdos ecuación y resolviendo términos semejantes obtenemos

C

Entonces como la suma de ambas soluciones también es una solución la forma general de la respuesta es:



donde s1 y s2 están...