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UNIVERSIDAD SIMON BOLIVAR
Departamento de Matemáticas
Puras y Aplicadas.

MA1116 abril-julio de 2004

Ejercicios sugeridos para :
los temas de las clases del 4 y 6 de mayo de 2004.
Temas :
Matriz transpuesta. Matriz simétrica.
Determinantes; propiedades de los determinantes.
Matriz adjunta de una matriz nxn. Propiedades.
Secciones 1.9, 2.1, 2.2, del texto (*)
[(*) paraejercicios sobre la sección 3.1, ver práctica IV]
Observación importante:
es muy importante que Usted resuelva también muchos ejercicios del texto.
1.- Diga, justificando, qué tamaño debe tener una matriz para que exista su transpuesta.
2.- Averigue cuales de las siguientes propiedades se cumplen y cuales no :
2a) (At)t = A ; 2b) (A+B)t = At+Bt ; 2c) (A+B)t=Bt+At ;
2d) siempre existen losproductos (filas por columnas) AAt , AtA , cualquiera que sea el
tamaño de A ;
2e) si A, B son matrices de tamaño nxn , entonces (AB)t=AtBt ;
2f) si A, B son matrices de tamaño nxn , entonces (AB)t=BtAt ;
2g)si existe la matriz inversa, B=A-1 , de A , entonces Bt = (At)-1, [es decir : la transpuesta de la
inversa es igual a la inversa de la transpuesta ];
2h) A es equivalente por filas a lamatriz identidad In si y sólo si su transpuesta, At, es
equivalente por filas a la matriz identidad In .
3.- Demuestre las siguientes afirmaciones :
3a) Si A es una matriz simétrica, entonces A2 también es matriz simétrica;
3b) si A es matriz simétrica y si A tiene inversa, entonces su inversa también es simétrica;
3c) sean A, B matrices del mismo tamaño. Si A, A+B son ambas simétricas, entoncesnecesariamente B también debe ser simétrica;
3d) sean A, B matrices simétricas del mismo tamaño. Entonces la matriz C=AB+BA es
simétrica.
4a) Dé un ejemplo de dos matrices A, B, de tamaño nxn, simétricas, tales que su producto,
AB no sea matriz simétrica;
4b) Dé un ejemplo de dos matrices A, B, de tamaño nxn, simétricas, tales que su producto,
AB sea matriz simétrica;
5.- Demuestre que siel producto AB (de dos matrices simétricas del mismo tamaño) es una
matriz simétrica, entonces AB=BA .

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MA1116 abril-julio de 2004

6.-Una matriz nxn, A=[aij] se llama "antisimétrica" si y sólo si, para toda componente aik ,
se tiene aik= -aki . ¿ Es cierto que en una matriz antisimétrica todos loselementos de la
"diagonal" [es decir: todas las componentes del tipo akk] son nulos ?
7.- Una matriz, A, de tamaño nxn se llama "ortogonal" si y sólo si At=A-1 ;
7a) Dé un ejemplo de matriz 2x2, ortogonal;
⎡ sen(α) -cos(α)⎤
7b) Diga si es cierto o falso que la matriz A= ⎢ cos(α) sen(α) ⎥ es ortogonal;
⎢
⎥
⎣
⎦
7c) Demuestre que no puede existir una matriz ortogonal cuyo determinante sea = 7 .8.- De una matriz antisimétrica A=[aij] , de tamaño 2x2 se conoce que = a12 = 1 ;
halle A, A-1 .
⎡
⎢1 2 3 4 ⎤
⎥
9.- Dada la matriz A= ⎢ 2 -1 -1 3⎥ , halle los menores M1,3, M2,4, M3,2 .
⎢
⎣ 1 -5 4 1 ⎥
⎦
10.- Dadas dos matrices antisimétricas A, B de tamaño 3x3, se conoce que el menor
M1,3 de A es igual al menor M'1,3 de B. ¿Se puede entonces llegar a la conclusión
que A=B ? Explique.11.- a) Diga si es cierto o falso que ⎪At⎪=⎪A⎪ ;
b) diga si es cierto o falso que el determinante de una matriz antisimétrica de tamaño nxn,
con n impar, es necesariamente nulo;
c) dé un ejemplo de matriz antisimétrica con n par, cuyo determinante no sea nulo.
12.-Dada una matriz A de tamaño nxn, diga que diferencia hay entre el "menor Mij"
y el "cofactor Aij " .
13.- Dada una matriz A detamaño nxn, diga que diferencia hay entre el
"determinante,⎪ Mij⎪, del menor Mij" y el "cofactor Aij " .
14.- a) Dada la matriz 4x4, A=[aij] , escriba la expansión por cofactores en la segunda fila .
b) diga que relación tiene el número representado por esta expansión, con ⎪A⎪ .
15.-a)Dada la matriz 4x4, A=[aij], escriba la expansión por cofactores en la tercera columna
b) diga que relación...