Ing. civil

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FORMULA DE EULER

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica:M = EI(d2y/dx2)

Ahora se sabe que este análisis es valido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, nide límite de proporcionalidad, por lo que él no tubo en cuenta la existencia de una límite superior de la carga crítica.

Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la columnatiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión máxima  es lo suficientemente pequeña para que no exista diferenciaapreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede aplicar la ecuación diferencial aproximada de laelástica de una viga:

EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py

El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida delsigno menos. Si la columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos adoptado.

La ecuación anterior nose puede integrar directamente, como se hacía anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo, presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos damoscuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un cuerpo que vibra simplemente:

M(d2x/dx2) = -kx

para lo cual una solución general es:

x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))

deaquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:

y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))

LIMITACIONES DE LA FORMULA DE EULER

Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en...
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