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Introducción

En este tema vamos a intentar responder a las siguientes preguntas

¿que es la combinatoria?

¿Cuáles son los principio fundamentales?

¿Qué son factoriales?

¿Qué son variaciones?

¿Qué son pemutaciones?

¿Qué es el binomio de newton?

La Teoría Combinatoria estudia las agrupaciones que pueden ser formadas cuando se toman todos, o algunos, de los elementos de unconjunto .nito. Los elementos del conjunto pueden ser de cualquier naturaleza: números, personas, empresas,artículos producidos por una fábrica, etc. La Teoría Combinatoria estudia especialmente el número de agrupaciones que pueden ser obtenidas bajo algún modo de composición de los elementos. Para ello, distingue básicamente tres conceptos:arreglos, permutaciones y combinaciones.Para calcularprobabilidades, muchas veces es necesario determinar la cantidad de elementos de un conjunto dado (cardinal del conjunto), o la cantidad de elementos del conjunto integrado por las agrupaciones que podemos realizar tomando algunos de los elementos. A menudo, la tarea de contarlos uno a uno resulta tediosa. En cambio, para poder contar resulta de mucha utilidad el llamado Principio Fundamental de Conteoy los aportes realizados por la Teoría Combinatoria.

Que es la Combinatoria

Si se les pregunta que es la Combinatoria, la mayorıa de los matemáticos responderán algo ası como “el arte y ciencia de contar”. Sin embargo esta definición es inadecuada, pues tıpicos problemas combinatorios como el de describir todos los grafos con un cierto numero de vértices o el de la existencia
de cuadradoslatinos ortogonales, quedarıan fuera de su alcance. Si bien los métodos de recuento forman parte esencial de la Combinatoria, esta contempla también otros aspectos. Además de contar el numero de árboles con n vértices, por ejemplo, interesa también describirlos, decir cuales son. En este sentido Claude Bergen [B1] propone definir la Combinatoria como el estudio de las configuraciones formadas conlos elementos de un conjunto finito, entendiendo por tales las aplicaciones del conjunto en otro (posiblemente provisto de cierta estructura) que satisfagan unas restricciones determinadas. Dentro de esta concepción pueden considerarse varios aspectos, entre ellos: el estudio de configuraciones conocidas, el estudio de la existencia de ciertas configuraciones, el conteo del numero deconfiguraciones de un tipo dado, la enumeración o descripción de configuraciones, la optimización combinatoria, es decir la determinación de las configuraciones que maximizan o minimizan una función dada, etc.
Otros autores, como Aigner [A1], distinguen dentro de la Combinatoria varias áreas principales, tales como los problemas de enumeración, el estudio de estructuras de orden en conjuntos finitos, losteoremas de existencia tipo Ramsey, Sperner, etc. y el estudio de configuraciones. En cualquier caso el campo abierto a la Combinatoria es amplio y fascinante, repleto de bellos resultados e interesantes problemas abiertos.

Orıgenes y evolucion de la Combinatoria

En cierto sentido la combinatoria puede considerarse tan vieja como la propia
Matematica, ya que la operacion basica de contar loselementos de un conjunto esta ligada al origen mismo del concepto de numero en los tiempos prehistoricos. Los matematicos griegos no prestaron mucha atencion a los problemas combinatorios, si exceptuamos el estudio de los numeros poligonales realizado por los pitagoricos. Segun Bourbaki [B3] la formula ya era conocida en el siglo III de nuestra era. En el siglo XII el matematico hindu Bhaskaraconocıa ya la formula general para y Levı Ben Gerson (1288–1344) realizo un estudio mas detallado de las permutaciones, arreglos y combinaciones de un conjunto de objetos. Sin embargo sus escritos aparentemente no alcanzaron mucha difusion, y varios de sus resultados fueron redescubiertos varias veces por los matematicos de los siglos siguientes.

Cardano (1501–1576) mostro que el numero de partes...
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