Ingeniería aeronautica

´
INTEGRACION

C´lculo II
a
Academia De Ciencias B´sicas
a

Mayo, 2014

´
Area bajo una curva

2 / 27

Aproximaci´n del ´rea bajo una curva
o
a

3 / 27

Aproximaciones del ´rea bajo una curva
a

4 / 27

Mejores aproximaciones del ´rea bajo una curva
a

5 / 27

Una aproximaci´n m´s general: Sumas de Riemann
o
a

6 / 27

Sumas de Riemann
f pci q: Alturadel rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .

7 / 27

Sumas de Riemann
f pci q: Altura del rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
}P } : Norma de la partici´n P ; es
o
decir, el mayor de todos los intervalos ∆xi .

7 / 27

Sumas de Riemann
f pci q: Altura del rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
}P } : Norma de la partici´n P ; es
o
decir, el mayor detodos los intervalos ∆xi .
C “ tc1 , . . . , cN u : Conjunto de
todos los puntos medios.

7 / 27

Sumas de Riemann
f pci q: Altura del rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
}P } : Norma de la partici´n P ; es
o
decir, el mayor de todos los intervalos ∆xi .
C “ tc1 , . . . , cN u : Conjunto de
todos los puntos medios.
Entonces, el ´rea aproximada es
a
funci´n de estas trescantidades:
o
A “ A pf, P, Cq

7 / 27

Sumas de Riemann
´
Area aproximada

A pf, P, Cq “ f pc1 q∆x1 `f pc2 q∆x2 `. . .`f pcN q∆xN “

N
ÿ
i“1

8 / 27

f pci q∆xi

Sumas de Riemann
´
Area aproximada

A pf, P, Cq “ f pc1 q∆x1 `f pc2 q∆x2 `. . .`f pcN q∆xN “

N
ÿ
i“1

Mejor aproximaci´n
o

ım
l´ A pf, P, Cq “ l´
ım
}P }Ñ0

8 / 27

}P }Ñ0

N
ÿ
i“1

f pciq∆xi

f pci q∆xi

Sumas de Riemann

9 / 27

Integral Definida
Definici´n
o
Sea f una funci´n continua en el intervalo ra, bs. La integral definida
o
o simplemente la integral de f desde a hasta b es:
żb
ım
f pxqdx “ l´ A pf, P, Cq “ l´
ım
a

10 / 27

}P }Ñ0

}P }Ñ0

N
ÿ
i“1

f pci q∆xi

Integral Definida
Definici´n
o
Sea f una funci´n continua en el intervalo ra, bs.La integral definida
o
o simplemente la integral de f desde a hasta b es:
żb
ım
f pxqdx “ l´ A pf, P, Cq “ l´
ım
a

}P }Ñ0

}P }Ñ0

N
ÿ

f pci q∆xi

i“1

Teorema
Si f pxq es continua en ra, bs, entonces f pxq es integrable en ra, bs.

10 / 27

Funci´n Constante
o

11 / 27

Funci´n Constante
o

Teorema
żb
@CPR ñ

C dx “ Cpb ´ aq
a

11 / 27

Funci´nIdentidad f pxq “ x
o

12 / 27

Funci´n Identidad f pxq “ x
o

żb
a
12 / 27

1
x dx “ pb2 ´ a2 q
2

Ejercicio

Calcula
ż3
p2x ´ 5q dx
0

13 / 27

Ejercicio

Calcula
ż3
p2x ´ 5q dx
0

13 / 27

La integral es un operador lineal
Teorema
Si f y g son funciones integrables en ra, bs, entonces f `g y Cf tambi´n
e
son funciones integrables en ra, bs, @ C P R, y:
żb ´żb
żb
¯
f pxq ` gpxq dx “
f pxq dx `
gpxq dx
a

a

żb

a

żb
C f pxq dx “ C

a

14 / 27

f pxq dx
a

Propiedades
Definici´n
o
żb

ża
f pxqdx “ ´

a

15 / 27

f pxqdx
b

Propiedades
Definici´n
o
żb

ża
f pxqdx “ ´

a

f pxqdx
b

Teorema
Sean a ď b ď c y f pxq una funci´n integrable:
o
żc

żb
f pxqdx “

a

15 / 27

żc
f pxqdx `

af pxqdx
b

Propiedades

16 / 27

Ejercicios
En los siguientes ejercicios, determina el valor de la integral considerando que:
ż5

ż5
f pxq dx “ 5

0

ż5 ´

¯
f pxq ` gpxq dx

aq
0

gpxq dx “ 12
0

ż5 ´
¯
1
2f pxq ´ gpxq dx
bq
3
0
ż5 ´

ż0
cq

gpxq dx
5

17 / 27

dq
0

¯
f pxq ´ x dx

Ejercicios
En los siguientes ejercicios, determina el valorde la integral considerando que:
ż1

ż2
f pxq dx “ 1

0

ż4
f pxq dx “ 4
1

ż4
aq

ż2
f pxq dx

bq

0

18 / 27

ż4
f pxq dx

4

f pxq dx
1

ż1
cq

f pxq dx “ 7

0

dq

f pxq dx
2

Ejercicios
Escribe cada una de las siguientes expresiones, como una sola integral:
ż3
aq

ż7
f pxq dx `

0

ż9
bq

f pxq dx
3

ż9
f pxq dx ´

f pxq dx...