Ingeniería

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Rafael Urdaneta (Uru)
Cátedra: Álgebra Lineal
Título:

Profesor: Gines Alarcón
Alumnos: José Jatar María A. Redondo Ana Rivero


Maracaibo 22/11/20123. Combinación lineal y vectores linealmente independientes (2 definiciones y 2 ejemplos)
Combinación lineal de vectores
Definición Sea  un espacio vectorial sobre el cuerpo  y sean  vectores de. Se dice que  es combinación lineal de los vectores  si y sólo si existen escalares  tales que.
Teorema Sea  un espacio vectorial sobre el cuerpo  y sea. Denotamos por  o bienpor  al conjunto de todos los vectores de  que son combinación lineal de los vectores de. Entonces
(a)  es subespacio vectorial de . (b)  es el menor de todos los subespacios vectoriales de  que contienen a.

Definición.- Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares. Cualquier vector se puede poner comocombinación lineal de otros dos que tengan distinta dirección. Esta combinación lineal es única. Sean vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

Donde son escalares se llama una combinación lineal de .

Ejemplo 1 En el espacio vectorial real usual estudiar si el vector es combinación lineal de los vectores
Resolución Expresemos. Esta igualdad equivaleal sistema

Escalonando, obtenemos que el sistema es compatible (concretamente que tiene como única solución). En consecuencia  es combinación lineal de los vectores  .

Ejemplo 2 Determinar si  es combinación lineal de los vectores  en  
Demostración: Tenemos que determinar  tal que
(1;2;1) = a(1;2;1)+b(1;1;2)+c(1;2;3) 
(1;2;1) = (a+b+c;2a+b+2c;a+2b+3c) es decir, 

Determinando la matrizdel sistema tenemos, 

Luego el sistema no tiene solución, es decir, no existen  tales que satisfagan el sistema. 
Por lo tanto  no es combinación lineal de los vectores  

Vectores linealmente independientes
Definición.- Sean n vectores en un espacio vectorial V. Entonces se dice que los vectores son linealmente independientes si existen n escalares todos cero tales que:Si los vectores no son linealmente independientes, se los llama como linealmente dependientes.
* Para que un conjunto sea linealmente independiente su determinante siempre debe ser diferente de cero

TEOREMA: Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si y solo si uno es múltiplo escalar del otro.


DEMOSTRACION


Laecuación uno nos dice que es dependiente de los vectores contrarios de acuerdo a la hipótesis asumida. El conjunto es linealmente independiente si es linealmente independiente.

Por tanto es linealmente independiente.
Vectores linealmente independientes: Sean V1, V2….Vn, n vectores de un espacio vectorial E. Diremos que son linealmente independiente, si ninguno de ellos se puede expresarcomo combinación de los otros vectores. Es decir si: a1V1+ a2V2+…anVn= 0 a1=a2=…an= 0
Para comprobar si un n vectores son I.d o I.i se puede montar una matriz donde las filas( o las columnas) sean las componentes de esos vectores y calcular:
El determinante (si la matriz es cuadrada)Si el determinante =0 Vectores I.d Si el determinante =0 Vectores I.i
El rango (si una matriz no es cuadrada)
Si el rango= máximo rango posible Vectores I.i...