Ingenieria de control 1

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MODELOS

MATEMÁTICOS DE
SISTEMAS DINÁMICOS

1

INTRODUCCIÓN
En el desarrollo de casi todas las estrategias de
control, es indispensable la obtención del modelo
matemático de la planta a controlarse, aplicándose las
leyes físicas del proceso y obteniendo una ecuación
diferencial (lineal o no lineal).
 Si no es lineal, existen métodos de linealización que
permiten obtener el modelolineal del proceso o planta,
haciendo posible el uso de controladores lineales.
 El uso de controladores lineales presupone la obtención
de un modelo del controlador lineal, para luego
continuar con la obtención del modelo del sistema
completo, es decir del sistema de control (planta +
controlador).


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FORMALIZACIÓN DE LOS MODELOS
MATEMÁTICOS
 El

modelo matemático dinámico deun
sistema es:
 Un conjunto de relaciones matemáticas
entre las variables del sistema, tales
que las soluciones para este conjunto de
ecuaciones, ante los mismos estímulos
que se aplican al sistema real, tengan
valores numéricos similares a los que
podríamos medir en dicho sistema real.
3

 El

modelo matemático dinámico de un
sistema constará de:
 Ecuaciones algebraicas(estáticas)

 Ecuaciones

diferenciales

 Ecuaciones

en diferencias (discretas)

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OBTENCIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS
 Se

caracterizan por generar conjuntos de
ecuaciones diferenciales y algebraicas
normalmente no lineales, que se obtienen a
partir de un estudio analítico del sistema
basado en:
 Una serie de hipótesis sobre dicho sistema.
 El uso de leyes de comportamientofísicoquímicas (leyes de conservación, equilibrio
entre fases, dependencias entre
variables,...), o bien expresiones obtenidas
a partir de datos experimentales.

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METODOLOGÍA DE MODELADO


Conceptualización
 Conocer de forma general el proceso que se quiere
modelar
 Definir los objetivos del modelo
 Realizar un modelo conceptual basado en
hipótesis sobre el sistema bajo estudioque debe
ser tan simple como sea posible.
 Conocer las leyes que rigen los fenómenos del
sistema y su causalidad física (leyes de
conservación de la masa, energía y momento …)
 Dividir el sistema en subsistemas interconectados.
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 Formalización
 Formular

el modelo en forma de ecuaciones
diferenciales y/o algebraicas y una serie de
condiciones lógicas

 Parametrización
Determinación

de los parámetros del modelo y
condiciones iniciales.

 Resolución

del modelo en un ordenador
 Validar el modelo (serie de condiciones
lógicas).

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE
SISTEMAS FÍSICOS
 Los

elementos físicos de parámetros
concentrados como la resistencia, la
capacitancia, la inductancia, pueden ser
representados por ecuaciones diferenciales
linealesen función de la diferencia del valor
entre los terminales, y una variable que pasa
a través del elemento o componente.
 En la tabla 2.2 se presenta las ecuaciones
diferenciales correspondientes a un conjunto
de elementos eléctricos y mecánicos pasivos
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MOVIMIENTOS DE ROTACIÓN
 Los

movimiento de rotación se definen
como extensión de la ley de Newton: La
suma algebraica demomentos o pares
alrededor de un eje fijo es igual al producto
de la inercia por la aceleración angular
alrededor de un eje.
 Los elementos bases constitutivos son: el
momento de inercia, el resorte tensional y
la fricción viscosa.
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 Inercia,

J, se considera a la propiedad de un
elemento de almacenar energía cinética del
movimiento de rotación:

Momento de inercia de uncilindro

donde r es el radio del cilindro de masa M y α, ω y
θ son la aceleración, velocidad y desplazamiento
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angular respectivamente del cilindro.

TEORÍA DE CONTROL MODERNO
 La

tendencia moderna en los sistemas de
ingeniería es hacia una mayor complejidad,
debido sobre todo a que requieren tareas más
complejas y buena precisión. Los sistemas
complejos pueden tener múltiples...
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