Ingenieria Industrial

2.1 Definición de integral indefinida.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. Adicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
  ó  
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integralesdefinidas de numerosas funciones.
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee : integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomarcualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Ejemplo:
Una primitiva de la función en es la función ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sen(x) - 100,etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) será de la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.

2.2 Propiedades de integrales indefinidas.
1ª.- La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de
la constante por la integral de la función.
∫c ⋅ f (x) dx = c ⋅ ∫ f (x)dx
Ejemplo: ∫5cos x dx = 5⋅ ∫cos x dx= 5 sen x + c

2ª.- La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de las
funciones sumando.
∫[ƒ(x) + g(x)] dx = ∫ƒ(x) dx + ∫g(x) dx
Ejemplo: ∫(sen x + cos x) dx = ∫sen x dx + ∫cos x dx =
− cos x + sen x +C

3ª.- la integral de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las
integrales de las funciones minuendo y sustraendo.
∫[ƒ(x) - g(x)] dx =∫ƒ(x) dx - ∫g(x) dx

4ª.- Como consecuencia de las dos propiedades anteriores:
La integral de una suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica
de las integrales de todas y cada una de las funciones sumandos.
Ejemplo: ∫(x − x + )dx = ∫x dx − ∫x dx + ∫dx = x − x + x + c

2.3 Calculo de integrales indefinidas.
Una función f (x) cuya derivada, en un cierto intervalo del eje x, F’(x) =f (x), decimos que f (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x). La integral indefinida de una función no es única;… Todas las primitivas de f (x) =2x están representadas por la expresión x2 + C, en la que C es una constante cualquiera y que se denomina constante de integración.

2.3.1 Directas.
En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo deforma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere una confeccionar una tabla de funciones y sus antidervidas o funciones primitivas.
Estas Integrales son las que se pueden aplicardirectamente tomandolos como el primer metodo de integracion:
1.∫kdx=kx + c
2.∫1/xdx=ln(x)+ c
3.∫xndx= xn+1/n+1+c
4.∫exdx=ex + c
5.∫axdx=ax/(ln (a))+c para a>0
6.∫senx dx=-cos (x) +c
7.∫cosx dx= sen (x)+c
8.∫sec2x dx=tan(x)+c
9.∫csc2xdx=-cot(x)+c
10.∫tanx secx dx=sec(x) +c
11.∫cotx cscx dx=-csc(x)+c
12.∫1/√1-x2 dx=arcsen(x) +c
13.∫1/1+x2dx=arctan(x+)c
14.∫1/IxI√x2-1dx=arcsec(x)...