Ingenieria sistemas matematikas 5

Tema 1.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
Ampliación de Matemáticas Ingeniería Técnica Industrial. Especialidad en Electrónica Industrial.

Índice General
1 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Definiciones y Terminología 2 Problemas de valor inicial. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 3.1 Ecuaciones devariables separables . . . . . . . . . . . 3.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas . . . . . . . . . . 3.3 Ecuaciones exactas. Factores integrantes . . . . . . . . 3.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden . . . 4 Métodos numéricos para E.D.O. 4.1 Método de Euler . . . . . . . . 4.2 Método de Euler mejorado . . . 4.3 Método de Runge-Kutta . . . . de . . . . . . primer . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 4 5 6 7 11 13 13 14 16

orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Ecuaciones diferencialesordinarias. Definiciones y Terminología

Una ecuación diferencial es una ecuación cuya incógnita es una función y en la que aparecen algunas derivadas de esa función. Si la función que interviene tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.). Si la función tiene varias variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial en derivadasparciales (E.D.P.). En este tema restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparece en dicha ecuación. En su forma más general una ecuación diferencial de orden n se puede escribircomo ³ ´ F x, y, y 0 , . . . y n) = 0. Ecuación 1) y 000 + 4y = 2 d2 s 2) 2 = −32 dt 3) (y 0 )2 − 3y = ex ∂2u ∂2u 4) + 2 =0 ∂x2 ∂y 5) y−sen y 0 = 0 Tipo Ordinaria Ordinaria Ordinaria Parcial Ordinaria Orden 3 2 1 2 1

Veamos algunos ejemplos:

Una función y = f (x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir, en ella, y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, 1

Tema 1. E.D.O. de primer orden. Ampliación de Matemáticas. Esp. Electrónica Industrial.

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1. Se puede comprobar que y = ln x es una solución de la ecuación xy 00 + y 0 = 0 en el intervalo (0, ∞). 2. Se puede comprobar que y = 1/(x2 − 1) es una solución de y 0 + 2xy 2 = 0 en el intervalo (−1, 1), pero no en ningún otro intervalo mayor quecontenga a éste. 3. Se puede probar que toda solución de la ecuación y 0 + 2y = 0 es de la forma y = Ce−2x . A partir de ahora nos centraremos fundamentalmente en dos cuestiones: • ¿qué ecuaciones diferenciales tienen solución? • ¿cómo obtener las soluciones? Los siguientes ejemplos nos muestran distintas situaciones: — Hay E.D.O. que carecen de soluciones. Así, por ejemplo, carece de soluciones devalor real la ecuación µ ¶2 dy +1=0 dx — Hay E.D.O. que tienen una única solución. Esto le sucede, por ejemplo, a la ecuación µ que sólo tiene la solución y = 0. — Hay ecuaciones diferenciales que poseen infinitas soluciones. Así ocurre en los dos siguientes casos: De la ecuación y 00 − 5y 0 + 6y = 0 son soluciones todas las funciones que se pueden expresar de la forma y = c1 e2x + c2 e3x , siendoc1 y c2 constantes cualesquiera. De la ecuación (y 0 )2 −xy 0 +y = 0 son soluciones todas las funciones y = cx−c2 con c constante, x2 y también lo es y = . 4 Las ecuaciones diferenciales que vamos a estudiar poseen por lo general infinitas soluciones, y muchas de estas soluciones se pueden escribir mediante una única expresión. Suele ocurrir que muchas de las soluciones de una ecuación diferencial...