Ingenieria

OBJETIVO
Resolver problemas relacionados con los espacios euclídeos y hermíticos, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.

CONTENIDO:
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 ESPACIOS EUCLIDEOS ESPACIOS HERMITICOS NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES SUBESPACIO COMPLEMENTOORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO CUESTIONARIO

6.1 ESPACIOS EUCLIDEOS
En esta sección se usarán como axiomas las propiedades más importantes del producto interior euclidiano para definir el concepto general de producto interior; luego se demostrará cómo los productos interiores se pueden utilizar para definir la desigualdad de Cauchy – Schwartz, la ortogonalidad,paralelismo y proyecciones entre vectores. Los espacios vectoriales que se estudiaron en el capítulo anterior resultan ser, en determinado sentido, más pobres en conceptos y propiedades que nuestro espacio corriente. En la teoría general de los espacios vectoriales no han quedado reflejados conceptos como la longitud de un segmento, la magnitud del ángulo y el producto interior que desempeñan un papelmuy importante en la geometría. Por esto, si queremos que la teoría general abarque todas las propiedades más esenciales del espacio corriente, debemos introducir, además de las operaciones de adición de vectores y de multiplicación de los mismos por escalares, la operación producto interior. En este capítulo se estudiarán precisamente las propiedades de los vectores pertenecientes a espaciosvectoriales provistos del producto interior. El cuerpo principal es de carácter muy especial: es el cuerpo de los números reales en el caso de espacios euclídeos y es el cuerpo de los números complejos en el caso de espacios hermíticos. Tomemos en el espacio vectorial V un sistema de coordenadas formado por k cualesquiera vectores {e1, e2, ..., ek}, perpendiculares dos a dos, de longitud 1. Entoncestodo vector u admite una representación única de la forma u = a1e1 + a2e2 + ... + akek donde a1, a2, ..., ak son las longitudes de las proyecciones del vector u sobre

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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS

los ejes coordenados, tomados con signo adecuado. Si v = b1e1 + b2e2 + ... + bkek es otro vector cualquiera, resulta entonces que el producto interior es u  v = a1b1 + a2b2 + ... +akbk. El espacio vectorial V es real. Esto se expresa en que las proyecciones, las longitudes y los productos interiores de los vectores son números reales. DEFINICION 6.1.1 Si dos vectores u y v están dados mediante sus coordenadas rectangulares cartesianas, entonces el producto interior canónico de estos vectores es igual a la suma de los productos, realizados dos a dos, de las coordenadascorrespondientes. Nótese que el producto interior no define la multiplicación de vectores en el sentido ordinario, es decir, el producto interior de dos vectores no es un vector sino un número real. EJEMPLO 6.1.1 Formando el producto interior de los vectores (Cos, Sen) y (Cos, Sen), deducir la identidad trigonométrica Cos( - ) = CosCos + SenSen. SOLUCION Dado que u = (Cos, Sen) y v = (Cos,Sen), entonces realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: u  v = (Cos, Sen)  (Cos, Sen) = CosCos + SenSen = Cos( - ). De esta manera hemos demostrado que Cos( - ) = CosCos + SenSen.  EJEMPLO 6.1.2 Calcular u  v, siendo u = 2i – 4j + k y v   (te2t i  tCosh2tj  2te2t k ) dt .
0 1

SOLUCION Integrando v, obtenemos:
v   (te2t i  tCosh2tj 2te2t k ) dt
0 1

 i  te2t dt  j  tCosh2t dt  k  2te2t dt
0 0 0

1

1

1

1 1 1  (e2  1)i  (e2  3e2  2) j  (1  3e2 )k . 4 8 2 Realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos: 1 1 1  f  g   2i  4 j  k  (e2  1)i  (e2  3e2  2) j  (1  3e2 )k 4 8 2 1 1 1  (e2  1)  (e2  3e2  2)  (1  3e2 )  0 .  2 2 2

EJEMPLO 6.1.3 En el...