Ingenieria

3/11/2012
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES | VICTOR Hugo QUIROZ MORENO |

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE HUATUSCO | FUNCIONES |

INDICE

Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación…….

Límites y continuidad…………………

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades……………………..

Integración de funciones vectoriales……

Longitud dearco………………………………..

Vector tangente, normal y binormal……

Función de dos variables…………..

Curvas y superficies a nivel…………..

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación.
Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

Donde x(t), y(t) y z(t) son funciones llamadas funciones componentes de variable real delparámetro t.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).
La función vectorial también se puede encontrar representada como ().
Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma:
= , ………. = , , ….

DOMINIO
El dominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de lasfunciones componentes, es decir:
= 1 ,2 ,3 …… = 1∩ 2∩ 3∩……..

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de la función para toda t que pertenece al dominio de la función.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: =1 =2() =3()
Las cualesse llaman ecuaciones para métricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C.

Límites y continuidad.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL
Dada una función vectorial =( , ,()

lim→ = lim→ ,lim→ ,lim→ =ℓ

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector () se acerca más y más al vector ℓ . Para que exista ellímite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes.

CONTINUIDAD
Sea :→ℝ ⊆ℝ. á
ó es continua en a sí y sólo si:

- Existe el vector
- Existe el lim→
- lim→ =

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.
Teorema: Una función convalores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y h son continuas en t = a.

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.
Sea la función vectorial entonces diremos que ′ es la derivada de dicha función y se define mediante:

′()=limΔ→0 +Δ −()Δ

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite.Cuando el límite existe para t = a se dice que es derivable en t = a.

Teorema Sea una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por:

′ =(′ ,′ ,′())

PROPIEDADES
Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables,que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalar cualquiera, entonces:

Integración de funciones vectoriales.
La función vectorial () es una antiderivada de la función vectorial (), siempre y cuando ′ = ()
INTEGRAL INDEFINIDA
Si () es cualquier antiderivada de (), la integral indefinida de esta se define como ()= +
Donde c es un vector constantearbitrario.
INTEGRAL DEFINIDA
Para la función vectorial (), se define la integral definida de la misma
()= ( , , )= (), (), ()
= ( , , )= (), (), ()
* Longitud de arco
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