Mecanica

´
Mecanica

´
Solidos

de

Departamento de Estructuras de Edificaci´n
o
Escuela T´cnica Superior de de Arquitectura de Madrid
e

y

Sistemas

AA 06/07

Estructurales
24-5-2007

Pr´ctica ‘Arriostramiento. Estabilidad en compresi´n’
a
o
Datos

Qk = 500 kN

A = 200 mm2
E = 200 kN/mm2
σe = 260 N/mm2

L=

(V´ase el enunciado de la pr´ctica para m´s infore
a
amaci´n.)
o

h
sin α
h=7 m

α = 60o

h
tan α

Desplome −x
Q

Si la excentricidad inicial η0 , de 7 m÷300 = 23,3 mm,
se produce en el plano definido por uno de los cables
y el soporte, y del lado contrario al del cable, s´lo ese
o
cable puede oponerse a la amplificaci´n del desplome.
o
Ecuaci´n de compatibilidad ∆, u:
o

∆
u

η0

∆ = u cos 60o
Ecuaci´n de equilibrio delsoporte:
o
Mest = N z = Mdes = Q(u + η0 )

N

N

z
z

Q

α

α

α

N

La componente vertical de N es siempre N sin α. Como el m´ximo valor posible de N es
a
200 mm2 × 260 N/mm2 = 52 kN, la m´xima compoa
nente vertical ser´ de 45 kN, marginal respecto de
a
4.104 kN. En servicio, ε ser´ 1,43 mm ÷ cos 60o ÷ h ×
a
sin 60o = 0,35 mm/m, la solicitaci´n del cable ser´
o
a
0,35 mm/m× 200 kN/mm2 × 200 mm2 = 14, 2 kN, y
la componente vertical 12,3 kN, es decir, 2,5 % de la
carga Qk .
Siempre se comete un error al calcular z en la geometr´ ideal, en vez de en la de equilibrio. Igual que al
ıa
considerar que todos los αs son el mismo α.

Respuesta cr´
ıtica (un cable alineado)
EA
Mest = N z ≈
∆h cos 60o
h
sin 60o
Mest
Rcr =
≈ 8.660 kN
u
Desplome de equilibriobajo la carga de servicio
Qk
η0 ≈ 1,43 mm
u=
Rcr − Qk
h
u + η0 ≈ 24,8 mm ≤
= 28 mm
250
El dise˜o cumple el requisito de rigidez para este desn
plome.
Carga ultima de la estructura:
´
εe = 1,3 mm
∆e = ε e L = ε e

h
sin 60o

∆e
= 21,0 mm
cos 60o
Qu (23,3 mm + 21,0 mm) ≈ 8.660 kN × 21,0 mm
ue =

Qu
= 8, 20
Qk
El dise˜o es seguro para este desplome.
n
Qu ≈ 4.104 kN

γ≈Ejemplo

h

cos α
tan α

h
tan α

Desplome x
La imperfecci´n inicial est´ en el mismo plano que antes,
o
a
pero es de sentido contrario. Al proyectar sobre ese plano,
los dos cables que se tensan y aportan rigidez no se ven en
verdadera magnitud.
El desplome u, proyectado en el plano vertical de cada
cable tensado, vale:

α

u1 = u2 = u cos α

η0

u
Ecuaciones decompatibilidad:
u1

∆1 = ∆2 = u1 cos α = (u cos α) cos α = u cos2 α
Ecuaci´n de equilibrio del soporte. Si H y V representan
o
las componentes horizontal y vertical de N1 + N2 en el plano
del desplome:
Mdes = Q(η0 + u) = Mest = H h − V (η0 + u)
Despreciando V frente a Q.
Mdes = Q(η0 + u) = Mest = H h
H puede deducirse autom´ticamente de las ecuaciones
a
de compatibilidad, puesto que esla fuerza hom´loga a u:
o

Q
η0

u
H

∆1
∆2

V
{H } =

cos2 α
cos2 α

=

cos2 α

{u}
N1
N2

cos2 α

Y por simetr´
ıa:
H = 2N1 cos2 α

N1 =

h

EA
· ∆1
h
sin 60o

Mest = H h = 2EA cos4 α sin α
Respuesta cr´
ıtica (dos cables a 60o ):
Rcr =

H
Q
V

Mest
= 4.330 kN
u

(Justamente la mitad que en el caso de un s´lo cable alio
neado.)
Desplome deequilibrio bajo la carga de servicio
u=

Qk
η0 = 3,04 mm
Rcr − Qk

h
= 28 mm
250
El dise˜ o cumple el requisito de rigidez para este desplome.
n
Carga ultima de la estructura:
´
u + η0 = 26,3 mm ≤

Despreciar V frente a Q es el mismo error que tomar
z en la geometr´ inicial (como en el caso anterior).
ıa
La componente horizontal de N1 (o de N2 ) en la direcci´n de u1 valdr´ N1cos α. Proyectando esa fuerza
o
a
horizontal en la direcci´n de u, (N1 cos α) cos α. Y,
o
puesto que son dos cables sim´tricos, multiplicando
e
por dos se obtiene el valor de H , 2N1 cos2 α.

εe = 1,3 mm
∆e = ε e

h
sin 60o

∆e
ue =
= 42,0 mm
En servicio, el alargamiento de cada cable valdr´ ∆1 =
a
cos2 60o
2
o
3,04 mm × cos 60 = 0,76 mm, con una deformaci´n
o
Qu (23,3...