Ingenieria

Ap´ndice 1 e
(I) Propiedades de las operaciones de suma y multiplicaci´n. o S1. La suma es ASOCIATIVA, es decir, para toda escogencia de tres n´meros reales a, b, c se tiene: (a + b) + c = a + (b + c); u S2. La suma tiene ELEMENTO NEUTRO (el cero) con la propiedad de que para todo n´mero real a se tiene: 0 + a = a + 0; u ´ S3. Propiedad del SIMETRICO. Para todo n´mero real, a, existe un un´mero, a (que se llama el opuesto de a y se indica con −a), tal u ˙ que a + a = a + a = 0; ˙ ˙ S4. La suma es CONMUTATIVA, es decir, para toda escogencia de dos n´meros reales a, b se tiene: a + b = b + a; u M1. La multiplicaci´n es ASOCIATIVA, es decir, para toda escogencia o de tres n´meros reales a, b, c se tiene: (ab)c = a(bc); u M2. La multiplicaci´n tiene ELEMENTO NEUTRO (el uno) con la propiedado de que para todo n´mero real a se tiene: 1.a = a,1 = a; u ´ M3. Propiedad del SIMETRICO. Para todo n´mero real no nulo, a = 0, u existe un n´mero a (que se llama inverso de a y se indica con a−1 ), u ˇ tal que: aa = aˇ = 1; ˇ a M4. La multiplicaci´n es CONMUTATIVA, esto es, para toda escogencia o de dos n´meros reales a, b se tiene: ab = ba; u MS5. Propiedad DISTRIBUTIVA de la multiplicaci´nrespecto a la suma: o a(b + c) = (ab) + (ac). (II) Propiedades de la relaci´n de orden , ≤, ≥ cuyos significados son conocidos. Por ejemplo, a ≥ b significa: b < a o b = a E1. Verifique que de la propiedad < 1 (tricotom´ sigue que: dados dos ıa) cualesquiera n´meros reales a, b se cumple una y una sola de las u siguientes relaciones: a < b, a = b, a > b. Observaci´n 3. De las propiedades que hemosenunciado al comienzo de o este ap´ndice siguen, en particular, las siguientes: e a) El opuesto de todo n´mero real es unico; u ´ b) Para todo n´mero real a, se tiene que a,0 = 0; u c) El producto de dos n´meros reales a, b es = 0 si y s´lo si al menos u o uno de los factores es = 0. En efecto, se tiene: a) Si a , a son opuestos del mismo n´mero a, entonces ˙ ¨ u a + a = a + a = 0 y a + a = a + a = 0;de manera que se tiene: ˙ ˙ ¨ ¨ a = a + 0 = a + (a + a) = (a + a) + a = 0 + a = a; ˙ ˙ ˙ ¨ ˙ ¨ ¨ ¨ b) La verificaci´n de esta propiedad es un poco menos sencilla. Ino diquemos el producto a,0 con b y tratemos de poner en evidencia que b = 0. b = a,0 = a(0 + 0) = (a,0) + (a,0) = b + b b+b=b (b + b) + (−b) = b + (−b) = 0 0 = (b + b) + (−b) = b + (b + (−b)) = b + 0 = b As´ que efectivamente resultaa,0 = b = 0 ı c) Verifiquemos que si ab = 0 y si acaso b = 0 entonces necesariamente a = 0. En efecto, si b = 0 entonces b tiene inverso, b−1 , y entonces: a = 1.a = (b−1 b)a = b−1 (ba) = b−1 (ab) = b−1 ,0 = 0 E2. Verifique que: i) (−1)a = −a =opuesto de a; ii) a(−b) = −(ab) =opuesto de ab; iii) (−a)(−b) = ab E3. Verifique que el cuadrado de todo n´mero real no nulo es positivo. u

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E4. Verifiqueque: i) Si c < 0 entonces −c > 0; ii) Si c > 0 entonces −c < 0. E5. Verifique que multiplicando ambos miembros de una desigualdad por un n´mero, c, negativo, la desigualdad cambia de sentido. Es decir, u si a < b, c < 0 entonces ac > bc. E6. Verifique que: i) a − (b − c) = a − b + c = a − b − c; ii) (−a)2 = a2 = −(a2 ). E7. Verifique que (Regla de los signos): i) El producto de dos n´meros positivoses positivo; u ii) El producto de un n´mero positivo por un n´mero negativo es u u negativo; iii) El producto de dos n´meros negativos es positivo. u Soluciones de los ejercicios SE1. Dados a, b, sabemos que se cumple una y solo una de las siguientes relaciones para b − a: b − a < 0; b − a = 0; b − a > 0; y de esto sigue (sumando a en ambos miembros): b < a; b = a; b > a. SE2. i) Como el opuestode a es unico, es suficiente averiguar que (−1)a ´ act´a como opuesto de a. En efecto: u (−1)a + a = (−1)a + 1.a = (−1 + 1)a = 0.a = 0; ii) De igual manera: a(−b) + ab = a(−b + b) = a,0 = 0, de lo cual sigue que a(−b) es el opuesto de ab; iii) Aplicando dos veces ii) se tiene: (−a)(−b) = −((−a)b) = −(b(−a)) = −(−(ab)) y como −(−(ab)), ab act´an ambos como opuestos de −(ab) sigue u que (−a)(−b) =...