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´ Algebra. (I. El´ctrica) Tipo A. Septiembre 2010. e
Ejercicios 1 a 6: Deben ser contestados en hoja de lectura ´ptica. Cada respuesta correcta suma o 1pto, incorrecta resta 0.33ptos, las dobles marcas o en blanco ni suman ni restan. Problema: Se corregir´ s´lo si la nota obtenida en los 6 ejercicios es igual o superior a 2.3ptos. a o

Ejercicio 1 Si A es una matriz cuadrada de orden 2 que essemejante a la matriz 2 0 , se cumple que: A) det(A) = 1; B) det(A) = −2; C) det(A) = 0; D) El 0 −1 determinante de A, det(A), NO se puede calcular. Ejercicio 2 Sean los conjuntos S = {(x, y, 0) ∈ R3 : x, y ∈ R} y U = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2α, y = 2, z = β − 1, α, β ∈ R}. Entonces: A) S´lo U es subespacio de R3 ; B) o 3 S´lo S es subespacio de R ; C) Ambos S, U son subespacios de R3 ; D) Ningunade las o anteriores es cierta. Ejercicio 3 Sea f un endomorfismo de R3 . Es cierto: A) Si {¯1 , e2 , e3 } es un sistema e ¯ ¯ linealmente independiente entonces {f (¯1 ), f (¯2 ), f (¯3 )} es un sistema linealmente indee e e pendiente; B) Si {¯1 , e2 , e3 } es linealmente dependiente, entonces {f (¯1 ), f (¯2 ), f (¯3 )} es e ¯ ¯ e e e 3 linealmente dependiente; C) Si {¯1 , e2 , e3 } es una base deR , entonces {f (¯1 ), f (¯2 ), f (¯3 )} e ¯ ¯ e e e 3 es una base de R ; D) Ninguna de las anteriores.   1 a 0 Ejercicio 4 Sea a ∈ R. La matriz A =  0 2 0  es diagonalizable: A) Si a = 0; a 1 1 B) Si a = 0; C) Para valores pares de a; D) Todas las anteriores son falsas. Ejercicio 5 Es cierto: A) La matriz de Gram asociada a un producto escalar siempre es cuadrada; B) S´lo es posible definir ununico producto escalar en el espacio vectorial o ´ 2 R ; C) Un vector x de un espacio vectorial eucl´ ¯ ıdeo tal que x = ¯ puede cumplir que ¯ 0 x = 0; D) Ninguna de las anteriores es cierta. ¯ Ejercicio 6 Las aplicaciones f y g de R2 a R definidas por f ((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 + y2 y g((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = x1 y2 respectivamente verifican: A) S´lo es bilineal f ; B) o S´lo es bilineal g;C) Ambas son bilineales; D) Ninguna es bilineal. o Problema a)(2ptos.) Considerando U = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 0, y − z = 0} y V = (1, 0, 1) . Calcular las dimensiones y unas ecuaciones cartesianas de los subespacios U + V y U ∩ V . Hallar unas ecuaciones param´tricas de U y una base suya. e b)(2ptos.) Definir subespacio N´cleo, Nuc(f ), y subespacio Imagen, Im(f ), de una apliu caci´n lineal f . oExplicar la relaci´n que existe entre las dimensiones de ambos subespacios mediante un o ejemplo.

Ejercicio 1 Soluci´n 1. B) o Dos matrices A y B de orden n son semejantes si y s´lo si existe una matriz regular o −1 P tal que A = P BP . A P , se le llama matriz de paso. Con las condiciones del problema, tenemos: 2 0 2 0 A = P −1 P ⇒ det(A) = det(P −1 ) det det P . 0 −1 0 −1 1 2 0 Como det(P−1 ) = , entonces det(A) = det = −2. 0 −1 det(P ) Ejercicio 2 Soluci´n 2. B) o El conjunto U no es subespacio porque no contiene el elemento neutro (0, 0, 0) lo cual es una condici´n necesaria de subespacio. Sin embargo S cumple las condiciones de o 3 subespacio de R como se puede comprobar. Ejercicio 3 Soluci´n 3. B) V´ase teor´ o e ıa. Ejercicio 4 Soluci´n 4. B) o 1−λ a 0 La ecuaci´n caracter´ oıstica es 0 2−λ 0 = (1 − λ)(2 − λ)(1 − λ) y los a 1 1−λ valores propios de la matriz son 1 de multiplicidad algebraica 2 y 2 (multiplicidad algebraica 1). Calculemos  subespacio de vectores propios de valor propio 1. Es decir,   el    1−1 a 0 x 0  0   y  =  0  . Entonces las ecuaciones cartesianas de dicho 2−1 0 a 1 1−1 z 0 subespacio son: ay = 0, y = 0, ax + y = 0, o de formaequivalente, y = 0, ax = 0. Como consecuencia A es diagonalizable si la dimensi´n de dicho subespacio es 2. Lo cual sucede o si y s´lo si a = 0. En este caso el subespacio ser´ y = 0. o ıa Ejercicio 5 Soluci´n 5. A) V´ase teor´ o e ıa. Ejercicio 6 Soluci´n 6. B) o f NO es bilineal porque f ((x1 , x2 ) + (x1 , x2 )), (y1 , y2 )) = f (x1 , x2 ), (y1 , y2 )) + f (x1 , x2 ), (y1 , y2 )). Sin embargo, g...
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