ingeniero civil
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Publicado: 3 de mayo de 2013
Teorema de Pitágoras
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El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todotriángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
cuando se va a hallar la hipotenusa se Suma. ejemplo: h^2= a^2 + b^2
cuando se va a hallar un cateto se Resta. ejemplo: c^2= a^2 - h^2
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas a = \sqrt{c^2 - b^2} b= \sqrt{c^2-a^2} c = \sqrt {a^2 + b^2}
Índice
1 Historia
2 Designaciones convencionales
3 Demostraciones
3.1 China: el "Chou Pei Suan Ching", y el "Chui Chang Suang Shu"
3.2 Demostraciones supuestas de Pitágoras
3.3 Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos
3.4 Demostración de Pappus
3.5 Demostraciónde Bhaskara
3.6 Demostración de Leonardo da Vinci
3.7 Demostración de Garfield
4 Ejemplos de aplicación del teorema
5 Véase también
6 Notas
7 Bibliografía
8 Enlaces externos
Historia
El teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocíanternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándoseen el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Designaciones convencionales
Euklidova veta.svg
Triángulos — Resumen de convenciones de designación Vértices \text{A} \text{B} \text{C}
Lados (como segmento) \text{BC} \text{AC} \text{AB}
Lados (como longitud) a b c
Ángulos \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} \widehat{\beta} = \widehat{b} =\widehat{B} = \widehat{ABC} \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}
Demostraciones
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autoresproponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones deáreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Chou Pei Suan Ching", y el "Chui Chang Suang Shu"
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
Pythagoras-2.gif
El "Chou Pei" es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque seacepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Chui Chang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Chou Pei" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo...
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El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa ("el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo") es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).
Teorema de Pitágoras
En todotriángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras de Samos
cuando se va a hallar la hipotenusa se Suma. ejemplo: h^2= a^2 + b^2
cuando se va a hallar un cateto se Resta. ejemplo: c^2= a^2 - h^2
De la ecuación (1) se deducen fácilmente 3 corolarios de aplicación práctica:
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas a = \sqrt{c^2 - b^2} b= \sqrt{c^2-a^2} c = \sqrt {a^2 + b^2}
Índice
1 Historia
2 Designaciones convencionales
3 Demostraciones
3.1 China: el "Chou Pei Suan Ching", y el "Chui Chang Suang Shu"
3.2 Demostraciones supuestas de Pitágoras
3.3 Demostración de Euclides: proposición I.47 de Los Elementos
3.4 Demostración de Pappus
3.5 Demostraciónde Bhaskara
3.6 Demostración de Leonardo da Vinci
3.7 Demostración de Garfield
4 Ejemplos de aplicación del teorema
5 Véase también
6 Notas
7 Bibliografía
8 Enlaces externos
Historia
El teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocíanternas de valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en algunas tablillas y papiros. Sin embargo, no ha perdurado ningún documento que exponga teóricamente su relación. La pirámide de Kefrén, datada en el siglo XXVI a. C., fue la primera gran pirámide que se construyó basándoseen el llamado triángulo sagrado egipcio, de proporciones 3-4-5.
Designaciones convencionales
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Triángulos — Resumen de convenciones de designación Vértices \text{A} \text{B} \text{C}
Lados (como segmento) \text{BC} \text{AC} \text{AB}
Lados (como longitud) a b c
Ángulos \widehat{\alpha} = \widehat{a} = \widehat{A} = \widehat{BAC} \widehat{\beta} = \widehat{b} =\widehat{B} = \widehat{ABC} \widehat{\gamma} = \widehat{c} = \widehat{C} = \widehat{ACB}
Demostraciones
El teorema de Pitágoras es de los que cuenta con un mayor número de demostraciones diferentes, utilizando métodos muy diversos. Una de las causas de esto es que en la Edad Media se exigía una nueva demostración del teorema para alcanzar el grado de "Magíster matheseos".
Algunos autoresproponen hasta más de mil demostraciones. Otros autores, como el matemático estadounidense E. S. Loomis, catalogó 367 pruebas diferentes en su libro de 1927 The Pythagorean Proposition.
En ese mismo libro, Loomis clasificaría las demostraciones en cuatro grandes grupos: las algebraicas, donde se relacionan los lados y segmentos del triángulo; geométricas, en las que se realizan comparaciones deáreas; dinámicas a través de las propiedades de fuerza, masa; y las cuaterniónicas, mediante el uso de vectores.
China: el "Chou Pei Suan Ching", y el "Chui Chang Suang Shu"
Prueba visual para un triángulo de a = 3, b = 4 y c = 5 como se ve en el Chou Pei Suan Ching, 500-200 a. C.
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El "Chou Pei" es una obra matemática de datación discutida en algunos lugares, aunque seacepta mayoritariamente que fue escrita entre el 500 y el 300 a. C. Se cree que Pitágoras no conoció esta obra. En cuanto al "Chui Chang" parece que es posterior, está fechado en torno al año 250 a. C.
El "Chou Pei" demuestra el teorema construyendo un cuadrado de lado (a+b) que se parte en cuatro triángulos de base a y altura b, y un cuadrado de lado c.
Demostración
Sea el triángulo...
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