Ingeniero Mecánico Electricista

Resumen: T-007

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2004

Aspectos sobre Sistemas de Solución
Aplicables al M.E.F.
Mroginski, Javier L. - Beneyto, Pablo A. - Di Rado, H. Ariel
1
Manzolillo, Juan E. - Awruch, Armando M.
Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería - Universidad Nacional del Nordeste
Av. Las Heras 727, 3500Resistencia - Argentina. - E-mail: mroginski@javier.net.ar
1. Departamento de Mecánica Aplicada, Facultad de Ingeniería
Universidad Federal do Rio Grande do Sul, Av. Osvaldo Aranha 99, Porto Alegre, BRASIL

Antecedentes.
El Método de los Elementos Finitos (M.E.F.) es una técnica de análisis numérico que permite la obtención de
soluciones aproximadas para una variedad de problemas de laIngeniería y Física.
Estos problemas pueden ser expresados matemáticamente por medio de ecuaciones diferenciales de gobierno, sin
embargo son muy pocos los casos en que es posible obtener la solución analítica de las mismas.
Las alternativas que se presentan son básicamente dos: considerar hipótesis simplificativas que eliminen las dificultades
y tornen el problema hacia una soluciónanalítica posible; o mantener las complejidades del problema y obtener
soluciones numéricas aproximadas haciendo uso del avance en el desarrollo de las computadoras y de los algoritmos
numéricos.
Para la obtención de soluciones numéricas aproximadas existen varias técnicas de análisis, cada una con sus ventajas y
desventajas en el momento de su aplicación sobre un problema especifico, entreellas se encuentra el Método de los
Elementos Finitos.
Dicho método discretiza el dominio del problema en cuestión en pequeñas regiones o elementos de dimensiones finitas.
Las incógnitas de las ecuaciones diferenciales se resuelven a nivel de cada elemento en determinados puntos conocidos
como nodos. El conjunto de las soluciones aproximadas de cada elemento representan el comportamientoglobal del
problema.
El resultado de la aplicación del Método de los Elementos Finitos a un dominio cualquier es un sistema de ecuaciones
lineales simultáneas de gran tamaño, correspondiendo una ecuación por cada incógnita que se evalúe en cada nodo,
imposible de ser resuelto sin el auxilio de un computador.
El presente trabajo desarrolla algunos aspectos significativos sobre los tresdiferentes métodos de resolución de sistemas
de ecuaciones lineales simultáneas mas usados en el Método de los Elementos Finitos que son el: Eliminación de
Gauss, Sistema Banda y Frontal entre otros.

Materiales y Métodos.
En los párrafos siguientes se expondrá una breve descripción de los métodos de solución de sistemas de ecuaciones
lineales simultáneas que se estudian en el presentetrabajo:
1) Eliminación de Gauss.
Es uno de los más antiguo y mejor conocido métodos de solución de sistemas de ecuaciones lineales simultáneas.
Un sistema de ecuaciones lineales simultáneas puede ser expresado en forma genérica de la siguiente manera:
 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + K + a 1 n x n = C1
a x + a x + a x + K + a x = C
 21 1
22 2
23 3
2n n
2
(1)
.............................................................

a n1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + K + a n n x n = C n

o de manera resumida usando notación matricial:
A⋅X =C
~

~

donde

~

(2)

A es la matriz de orden (n x n) de los coeficientes
~

X es el vector de las incógnitas.
~

C es el vector de los términos independientes.
~

El método eliminación de Gauss se reduce alograr un sistema triangular equivalente, mediante el uso de
transformaciones lineales, que a su vez se resuelve con facilidad aplicando la denominada sustitución inversa.

Resumen: T-007

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2004

 a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + K + a 1 n x n = C1

a ´22 x 2 + a ´23 x 2 + K + a ´2 n x n = C´2


...