Ingeniero

En cálculo numérico, el método de regla falsa o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Como en el método de bisección, el método parte de un intervalo inicial [a0,b0] que contiene al menos una solución de la ecuación f(x) = 0, a la cual se llama raíz de f. Es decir, parte de unintervalo con f(a0) y f(b0) de signos contrarios (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo [ak, bk] más pequeño que incluye una raíz de la función f.

Para determinar a partir de un intervalo [ak, bk] el siguiente intervalo [ak+1, bk+1], lo que se hace es obtener el punto del interior del intervalo dado por la fórmula:

El punto seobtiene al hallar la intersección de la recta que pasa por los puntos (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).
Una vez hallado este punto, se toma como siguiente intervalo al intervalo que tiene de extremo al punto obtenido ck y uno de los extremos del anterior intervalo de forma que en el nuevo intervalo siga estando una de las raíces de lafunción f (Es decir, con el valor de la función en los extremos del nuevo intervalo de signo contrario).

Este método sirve para encontrar la raíz o solución real de una ecuación. Al decir que encuentra su resultado hay que tomar en cuenta que no todas las ecuaciones tienen un solo resultado, y que no todas tienen resultado, por lo que hay que tener una idea de la forma de la curva de la ecuación antesde aplicar el método para que sea efectivo

Consideremos la grafica,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo  .

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje  esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa yésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

Supongamos que tenemos una función    que es continúa en el intervalo    y  además,   y   tienen signos opuestos.

El método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea   continúa,

i) Encontrar valores iniciales  ,    tales que    y    tienensignos opuestos, es decir,
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ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
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iii) Evaluar  . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

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En este caso,  tenemos que    y    tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  .

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En este caso,  tenemos que    y    tienen el mismo signo, y de aquí que    y   tienen signosopuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  .

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En este caso se tiene que   y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
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Algoritmo

Sea f(X) continua,

Encontrar valores iniciales Xl, Xu tales que f(Xl) y f(Xu) tienen signos opuestos, es decir,
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La primera aproximación a la raíz setoma igual a:
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Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

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En este caso, tenemos que f(Xl) y f(Xr) tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [Xl, Xr].
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En este caso, tenemos que f(Xl) y f(Xr) tienen el mismo signo, y de aquí que f(Xr) y f(Xu) tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en elintervalo [Xr, Xu].
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En este caso se tiene que f(Xr) = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz.

El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
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Ejemplo 1
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de  , comenzando en el intervalo   y hasta que  .

Solución

Calculamos la primera aproximación:
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Puesto que solamente tenemos una...