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Ejemplos y notaciónExisten diferentes notaciones y nociones de sucesión en matemáticas, dependiendo del área de estudio, algunas de las cuales (como por ejemplo sucesión exacta) no quedan comprendidas en la notación que se introduce a continuación.
Se puede usar la notación (a_n) para indicar una sucesión, en donde a_n hace referencia al elemento de la sucesión en la posición n.
Ejemplo.Retomando el ejemplo de los números positivos pares, si denotamos dicha sucesión por (p_n):
(p_n)=2,4,6,8,10,12,...
entonces
p_1 =2, p_2=4, p_3=6, p_4=8,\ldots.
En el caso de que los elementos de la sucesión queden determinados por una regla, se puede especificar la sucesión haciendo referencia a la fórmula de un término arbitrario. Ejemplo. La sucesión anterior (p_n) puede especificarse mediante lafórmula p_n=2n.
No es infrecuente encontrar sucesiones en donde los subíndices denotando posiciones inician desde cero, en vez desde uno, particularmente en matemática discreta o en ciencias de la computación. También se puede usar una variable distinta a n para denotar el término general, cuando así convenga para evitar confusión con otras variables.
En la literatura es posible encontrar unagran variedad de notaciones alternativas. Por ejemplo, uso de llaves en vez de paréntesis, o indicaciones de los límites mediante variantes de super y subíndices, a continuación se muestran algunos pocos ejemplos:
\{ a_n \} =a_1,a_2,a_3,\ldots
( a_k )_{k=1}^m =a_1,a_2,a_3,\ldots, a_m
\{ a_n \}_{n\in \N} =a_1,a_2,a_3,\ldots,
Definición formalUna sucesión finita (a_k) (de longitudm) con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
f:\{1,2,\ldots,r\}\to S.
y en este caso el elemento a_k corresponde a f(k).
Por ejemplo, la sucesión finita (de longitud 4) de números primos menores que 10:
2,3, 5, 7
corresponde a la función f:\{1,2,3,4\} \to \mathbb{P} (donde \mathbb{P} es el conjunto de números primos) definida por:
f(1)=2, f(2)=3, f(3)=5,f(4)=7.
Una sucesión infinita (a_k)con elementos pertenecientes a un conjunto S, se define como una función
f:\N\to S.
en donde, de forma análoga, a_k corresponde a f(k).
DefinicionesLas diferentes definiciones suelen estar ligadas al área de trabajo, la más común y poco general es la definición de sucesión numérica, en la práctica se usan sucesiones de forma intuitiva.

NotaciónNotaremos por\left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión, donde x la identifica como distinta de otra digamos \left\{{y_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}}.
La notación es permisiva en cuanto a su modificación si realmente es necesario.
Definición de término generalLlamaremos término general de una sucesión a x_n^{},donde el subíndice {n\in \mathbb{N}} indica el lugar que ocupa en dicha sucesión.Definición de parcialLlamaremos parcial de \left\{{x_n}\right\}_{n\in \mathbb{N}} a una sucesión \left\{{x_{n_i}}\right\}_{n_i\in \mathbb{N}} donde n_i <n_{i+1}
Ejemplos en distintas áreasEstos ejemplos pretenden ser una pequeña muestra de la infinidad, propiamente dicha, de usos que tienen dichas sucesiones en matemáticas.
El trabajo interno en el desarrollo de cada tema en cada área obliga adiversificar el modo de nominar y notar las sucesiones, haciéndose frecuente el uso de índices, subíndices y superíndices para salvar la sobrecarga de notación y hacerlas más legibles y estéticas en cuanto a la presentación.
El espacio de sucesiones finitas complejas \mathbb{C}Se puede tener una sucesión \left\{ {a^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}} tal que {a^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_{n_i}^{(i)},0,...),donde\; a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}-\left\{0\right\}
El espacio de sucesiones complejas o ℓ2 \mathbb{C}^nSe puede tener una sucesión \left\{{V^{(i)}}\right\}_{i\in \mathbb{N}} tal que {V^{(i)}} {:=(a_1^{(i)},...,a_n^{(i)}),donde\; a_j^{(i)}}\in \mathbb{C}
El espacio de polinómico K[x]Un polinomio P(x) \in K[x] no es más que una sucesión finita \left\{{a_n}\right\}_n tal que a_n \in K...