Ingeniero

Escuela Superior de Ingeniería
Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales

25-11-2011

Ampliación de Matemáticas
PRIMER PARCIAL
Nombre...................................................................................................

PROBLEMA 1 [2 puntos]
Dada la ecuación diferencial
xy (x) + 3 = 4xe−y(x)
1. Prueba que haciendo el cambio de variable, u(x) = e−y(x) , setransforma en una de Bernouilli
2. Resuelve dicha ecuación
SOLUCIÓN
1.
u(x) = e−y(x) ⇒ u = −y e−y ⇒ y = −

u
u

sustituyendo en la ecuación obtenemos
x( −

u
) + 3 = 4xu ⇒ −xu + 3u = 4xu2
u

la ecuación de Bernouilli de grado 2 es

u−

3
u = −4u2
x

2. Para resolverla la transformamos en una lineal, dividimos por u2
u
31
= −4
−
2
u
xu
hacemos el cambio

1
u
= z ,derivamos − 2 = z , y sustituimos en la ecuación
u
u
−z −

z=e

z=

−

3
z = −4 ⇒ z +
x

3
dx
C + 4e
x

1
C+
x3

4x3 dx =

deshaciendo el cambio obtenemos
u=

3
z=4
x

3
dx
x
dx

1
C + x4
x3

x3
1
=
z
C + x4

por tanto
e−y =

x3
C + x4
⇒ ey =
C + x4
x3

la solución general es
+
y = ln C x3x

4

Escuela Superior de Ingeniería
Grado enIngeniería en Tecnologías Industriales

25-11-2011

Ampliación de Matemáticas
PRIMER PARCIAL
Nombre...................................................................................................

PROBLEMA 2 [2 puntos]
Dada la ecuación diferencial
(x4 ln x − 2xy 3 ) dx + 3x2 y 2 dy = 0
1. Encuentra un factor integrante que dependa únicamente de x. Resuelve la ecuación
2. Efectúa elcambio de variable, z (x) = [y (x)]3 , y resuelve la ecuación
SOLUCIÓN
1. Multiplicando la ecuación por µ(x), podemos escribir

M (x, y ) = µ(x)(x ln x − 2xy ) 
4

∂M (x, y )
= −6xy 2 µ(x)
∂y

3

N (x, y ) = µ(x)3x2 y 2



⇒









∂N (x, y )

= 6xy 2 µ(x) + 3x2 y 2 µ (x) 
∂x

Para que la ecuación sea exacta debe ocurrir que

∂M (x, y )
∂N (x, y )
=, por tanto
∂y
∂x

−6xy 2 µ(x) = 6xy 2 µ(x) + 3x2 y 2 µ (x) ⇒

µ (x)
4
=−
µ(x)
x

integrando obtenemos
ln µ(x) = −4 ln x + ln k ⇒ ln µ(x) = ln

k
x4

el factor integrante es
µ(x) =

k
x4

Tomamos k = 1 y multiplicamos la ecuación por el factor integrante
(ln x − 2

y3
y2
) dx + 3 2 dy = 0
x3
x

la solución general será una función F (x, y ) = C , tal que

∂F(x, y )
y3

= ln x − 2 3 

∂x
x
∂F (x, y )
y2
=3 2
∂y
x










⇒
F (x, y ) =


y3
+ ϕ(x) 
x2

⇒





y3
∂F (x, y )
= −2 3 + ϕ (x) 
∂x
x

al igualar las dos derivadas de f (x, y ) respecto de x, obtenemos
ϕ (x) = ln x

integrando por partes
ϕ(x) =

ln x dx =


 ln x = u


1
x

dx = dv


dx = du 

x=v

= x ln x−

dx = x ln x − x



la solución general es
y3
+ x ln x − x = C
x2
2. Haciendo el cambio z = y 3 , derivamos y obtenemos z = 3y 2 y , sustituimos en la ecuación
x4 ln x − 2xy 3 + 3x2 y 2 y = 0 ⇒ x4 ln x − 2xz + x2 z = 0
hemos obtenido la ecuación lineal
z−

2
z = −x2 ln x
x

resolvemos la ecuación homogénea asociada
z−

2
z=0
x

2
z
= ⇒ ln z = 2 ln x + ln C ⇒ z = Cx2
zx
consideramos que C es una función de x, y obligamos a que z = C (x)x2 sea solución de la
ecuación completa, derivamos y obtenemos z = 2xC (x)+ x2 C (x), sustituyendo en la ecuación
nos queda
2xC (x) + x2 C (x) −

2
C (x)x2 = −x2 ln x ⇒ C (x) = − ln x ⇒ C (x) = −x ln x + x + K
x

por tanto, z = x2 (−x ln x + x + K ), deshaciendo el cambio obtenemos
y 3 = x2 (−x ln x + x + K )Escuela Superior de Ingeniería
Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales

25-11-2011

Ampliación de Matemáticas
PRIMER PARCIAL
Nombre...................................................................................................

PROBLEMA 3 [2 puntos]
1. Encuentra las trayectorias ortogonales de la familia de curvas
x2 + y 2 = kx
2. Dada la ecuación
y = 2x y − 1
Encuentra...