Ingeniería aeronautica
INTEGRACION
C´lculo II
a
Academia De Ciencias B´sicas
a
Mayo, 2014
´
Area bajo una curva
2 / 27
Aproximaci´n del ´rea bajo una curva
o
a
3 / 27
Aproximaciones del ´rea bajo una curva
a
4 / 27
Mejores aproximaciones del ´rea bajo una curva
a
5 / 27
Una aproximaci´n m´s general: Sumas de Riemann
o
a
6 / 27
Sumas de Riemann
f pci q: Alturadel rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
7 / 27
Sumas de Riemann
f pci q: Altura del rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
}P } : Norma de la partici´n P ; es
o
decir, el mayor de todos los intervalos ∆xi .
7 / 27
Sumas de Riemann
f pci q: Altura del rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
}P } : Norma de la partici´n P ; es
o
decir, el mayor detodos los intervalos ∆xi .
C “ tc1 , . . . , cN u : Conjunto de
todos los puntos medios.
7 / 27
Sumas de Riemann
f pci q: Altura del rect´ngulo i-´sia
e
mo en el punto medio ci .
}P } : Norma de la partici´n P ; es
o
decir, el mayor de todos los intervalos ∆xi .
C “ tc1 , . . . , cN u : Conjunto de
todos los puntos medios.
Entonces, el ´rea aproximada es
a
funci´n de estas trescantidades:
o
A “ A pf, P, Cq
7 / 27
Sumas de Riemann
´
Area aproximada
A pf, P, Cq “ f pc1 q∆x1 `f pc2 q∆x2 `. . .`f pcN q∆xN “
N
ÿ
i“1
8 / 27
f pci q∆xi
Sumas de Riemann
´
Area aproximada
A pf, P, Cq “ f pc1 q∆x1 `f pc2 q∆x2 `. . .`f pcN q∆xN “
N
ÿ
i“1
Mejor aproximaci´n
o
ım
l´ A pf, P, Cq “ l´
ım
}P }Ñ0
8 / 27
}P }Ñ0
N
ÿ
i“1
f pciq∆xi
f pci q∆xi
Sumas de Riemann
9 / 27
Integral Definida
Definici´n
o
Sea f una funci´n continua en el intervalo ra, bs. La integral definida
o
o simplemente la integral de f desde a hasta b es:
żb
ım
f pxqdx “ l´ A pf, P, Cq “ l´
ım
a
10 / 27
}P }Ñ0
}P }Ñ0
N
ÿ
i“1
f pci q∆xi
Integral Definida
Definici´n
o
Sea f una funci´n continua en el intervalo ra, bs.La integral definida
o
o simplemente la integral de f desde a hasta b es:
żb
ım
f pxqdx “ l´ A pf, P, Cq “ l´
ım
a
}P }Ñ0
}P }Ñ0
N
ÿ
f pci q∆xi
i“1
Teorema
Si f pxq es continua en ra, bs, entonces f pxq es integrable en ra, bs.
10 / 27
Funci´n Constante
o
11 / 27
Funci´n Constante
o
Teorema
żb
@CPR ñ
C dx “ Cpb ´ aq
a
11 / 27
Funci´nIdentidad f pxq “ x
o
12 / 27
Funci´n Identidad f pxq “ x
o
żb
a
12 / 27
1
x dx “ pb2 ´ a2 q
2
Ejercicio
Calcula
ż3
p2x ´ 5q dx
0
13 / 27
Ejercicio
Calcula
ż3
p2x ´ 5q dx
0
13 / 27
La integral es un operador lineal
Teorema
Si f y g son funciones integrables en ra, bs, entonces f `g y Cf tambi´n
e
son funciones integrables en ra, bs, @ C P R, y:
żb ´żb
żb
¯
f pxq ` gpxq dx “
f pxq dx `
gpxq dx
a
a
żb
a
żb
C f pxq dx “ C
a
14 / 27
f pxq dx
a
Propiedades
Definici´n
o
żb
ża
f pxqdx “ ´
a
15 / 27
f pxqdx
b
Propiedades
Definici´n
o
żb
ża
f pxqdx “ ´
a
f pxqdx
b
Teorema
Sean a ď b ď c y f pxq una funci´n integrable:
o
żc
żb
f pxqdx “
a
15 / 27
żc
f pxqdx `
af pxqdx
b
Propiedades
16 / 27
Ejercicios
En los siguientes ejercicios, determina el valor de la integral considerando que:
ż5
ż5
f pxq dx “ 5
0
ż5 ´
¯
f pxq ` gpxq dx
aq
0
gpxq dx “ 12
0
ż5 ´
¯
1
2f pxq ´ gpxq dx
bq
3
0
ż5 ´
ż0
cq
gpxq dx
5
17 / 27
dq
0
¯
f pxq ´ x dx
Ejercicios
En los siguientes ejercicios, determina el valorde la integral considerando que:
ż1
ż2
f pxq dx “ 1
0
ż4
f pxq dx “ 4
1
ż4
aq
ż2
f pxq dx
bq
0
18 / 27
ż4
f pxq dx
4
f pxq dx
1
ż1
cq
f pxq dx “ 7
0
dq
f pxq dx
2
Ejercicios
Escribe cada una de las siguientes expresiones, como una sola integral:
ż3
aq
ż7
f pxq dx `
0
ż9
bq
f pxq dx
3
ż9
f pxq dx ´
f pxq dx...
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