Integración Numérica

REGLA TRAPEZOIDAL SENCILLA.
La regla del trapecio o regla trapezoidal es la primera de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes.
Corresponde al caso en donde el polinomio de aproximación   es deprimer orden.

En donde f1(x) corresponde a una línea recta que se representa como:

El área bajo la línea recta es una aproximación de la integral de f(x) entre los límites a y b:
 
El resultado dela integración es:

REGLA TRAPEZOIDAL DE SEGMENTOS MULTIPLES.

Una manera de mejorar la exactitud de la regla trapezoidal sencilla es la de dividir el intervalo de integración desde "a" hasta "b"en conjunto de segmentos y aplicar el método a cada uno de los segmentos.
En seguida se suman las áreas de los segmentos individuales y se obtiene la integral sobre el intervalo completo.
Porconsiguiente, hay n segmentos de igual anchura:

Si a y b se igualan a x0 y a xn (puntos base igualmente espaciados), la integral total se representa como:

Sustituyendo la regla trapezoidal para cadauna de las integrales, se obtiene:
 
agrupando términos 
 
usando la ecuación en la forma general, se obtiene:

REGLA DE SIMPSON

Además de aplicar la regla trapezoidal con segmentos cada vezmás finos, otra manera de obtener una estimación más exacta de una integral, es la de usar polinomios de orden superior para conectar los puntos. Por ejemplo, si hay un punto medio extra entre f(a) yf(b), entonces los tres puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. A las fórmulas resultantes de calcular la integral bajo estos polinomios se les llaman Reglas de Simpson.

REGLA DESIMPSON 1/3 

La regla de Simpson de 1/3 resulta cuando se sustituye un polinomio de segundo orden en la ecuación:

Si a y b se denominan como x0 y x2 , y f2 (x) se representa mediante unpolinomio de Lagrange de segundo orden, entonces la integral es:

Después de integrar y de reordenar términos, resulta la siguiente ecuación: 
 

REGLA DE SIMPSON 1/3 DE SEGMENTOS MULTIPLES.

La...