Integracion Gaussiana

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PRACTICA
4: CUADRATURA GAUSSIANA
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TERMINO
DE ENTREGA: 2008/10/23

Consideramos el problema de aproximar num´ericamente una integral I =
f (t) dt. Es sabido que las f´ormulas de Newton-Cˆotesaproximan dicha
integral evaluando la funci´on subintegral f (t) en puntos equiespaciados del
intervalo de integraci´on [a, b]; las f´ormulas del trapecio y de Simpson son
dos ejemplos de f´ormulas deNewton-Cˆotes. Las f´ormulas de cuadratura
gaussiana, en cambio, aproximan la integral evaluando la funci´on en puntos
a determinar tj del intervalo [a, b] (llamados puntos de integraci´on o puntos
deGauss) y multiplicando por coeficientes adecuados cj (llamados pesos),
de manera que la aproximaci´on sea exacta para polinomios del mayor grado
posible. Una f´ormula de cuadratura gausssiana de npuntos, por lo tanto,
tiene la siguiente expresi´on:
b
a

n

I

cj f (tj )
j=1

Los polinomios de Legendre pn (x) forman una familia ortogonal de fun1
pn (x) pm (x) dx = 0 para
ciones en el intervalo[-1,1], es decir, cumplen −1
n = m. El grado del polinomio pn (x) es n y se tiene la siguiente relaci´on
2
de recurrencia entre ellos: pn+1 (x) = x pn (x) − 4nn2 −1 pn−1 (x), de manera
que sabiendo que p0(x) = 1 y p1 (x) = x pueden calcularse el resto de polinomios de la familia. El polinomio pn (x) tiene n ra´ıces reales y diferentes
{x1 , . . . , xn } ⊂ (−1, 1). La f´ormula de cuadratura deGauss-Legendre de n
puntos utiliza estas ra´ıces como puntos de integraci´on num´erica para las integrales en el intervalo [−1, 1], y es exacta para polinomios de grado (2n − 1).
Los puntos de integraci´on ylos pesos de las f´ormulas de Gauss-Legendre de
1, 2 y 3 puntos son los siguientes:
n = 1:
x1 = 0.
c1 = 2.
n = 2:
x1 = −0.5773502692, x2 = 0.5773502692
c1 = 1., c2 = 1.
n = 3:
x1 = −0.7745966692, x2 =0, x3 = 0.7745966692
c1 = 0.5555555556, c2 = 0.8888888889, c3 = 0.5555555556

Para integrales en un intervalo arbitrario [a, b], el cambio de variable
t = (x(b − a) + (a + b))/2 permite calcularlas...