Integracion por cuadratura gaussiana

INTEGRACION POR CUADRATURA GAUSSIANA
 
 
La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [ a, b ] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación
 
 
a = X1 |

b = X2 |

b∫f(x) dx ≈ ∑n Ci f(xi)ai=1 |

 
 
Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los limites de integración a [ -1, 1 ] mediante la siguiente formula:
 
Z = 2x – (a+b)
2a
 
Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:
 
f(x) = f( (b-a)Z + (a+b))
22                              2
 
Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de “Z”.
 
dx = b-a dz
2
 
Por ultimo determinamos el numero de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras mas puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.
 
No. de Puntos | Coeficientes Wi | Raices Zi |
2 | W1 = W2 = 1.0 | -Z1 = Z2 = 0.5773502|
3 | W2 = 0.88888W1= W3 = 0.55555 | Z2 = 0.0-Z1 = Z3 = 0.7745966 |
4 | W2 = W3 = 0.6521451549W1 = W4 = 0.3478548451 | -Z2 = Z3 = 0.33998104-Z1 = Z4 = 0.861136311 |
5 | W3 = 0.56888888W2 = W4 = 0.4786286705W1 = W5 = 0.2369268850 | Z3 = 0.0-Z2 = Z4 = 0.53846931-Z1 = Z5 = 0.90617984 |
 
 
 
 
7 7∫ln |x|dx = x ln |x| -x 33 |

 
 
= (7 ln |7| - 7) - (3 ln |3| - 3) = 6.6213 - 0.2958
 
= 6.32546
 
x = 3 = z = 2(3) - (3+7) = 6 - 10 = -4 = -1
7 - 3 4 4
 
x = 7 = Z = 2(7) - (3+7) = 14 - 10 = 4 = 1
7 - 3 4 4
 
ln |x| = f( 7-3 z + 3+7 ) = f( 4 z + 10 ) = 2Z + 5 = ln |2z + 5|
22 2 2
 
dx = 7-3 dz = 4 dz = 2z
2 2
 
7 1 1
∫ln |x|dx = ∫ ln |2z+5| 2 dz = 2 ∫ ln |2z+5| dz
3 -1 -1

|
 
 
 
 
 
Usando Gauss para 5 puntos:
 
1
∫ f(z) dz
-1|
 
 
= w1 * f(z1) + w2 * f(z2) + w3 * f(z3) + w4 * f(z4) + w5 * f(z5)
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando el método
 
1
2 ∫ln |2z+5|dz
-1

|

 
= 2 (0.2369268850 * [ln |2(-0.9061798459) + 5|]
+ 0.4786286705 * [ln |2(-0.5384693101) + 5|]+ 0.5688888889 * [ln |2(0) + 5|]
+ 0.4786286705 * [ln |2(0.5384693101) + 5|]
+ 0.2369268850 * [ln |2(0.09061798459) + 5|] =
 
=2(0.274664819+ 0.654224278 + 0.915591345 + 0.863685939 + 0.390263182)
 
= 2(3.098429563) = 6.196859127
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CUADRATURA DE GAUSS
 
Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.
 
Se tiene la curva de la función f(x) que sedesea integrar entre los limites a y b. La parte (a) de la figura muestra como se integraría usando un trapezoide: uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un segmento de recta P1(x) Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:
 
T= h / 2 [f(a) + f(b)],
 
Y que podía escribirse como
 
T = W1 f(a) + W2 f(b)
 
Donde W1...