Integracion multiple

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MOISES VILLENA

Integración Múltiple

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5.1 INTEGRALES DOBLES
DEFINICIÓN. TEOREMA DE INTEGRABILIDAD TEOREMA FUBINI INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 5.1.5 PROPIEDADES 5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN 5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES 5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES 5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS.5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES) 5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4

5.2 INTEGRALES TRIPLES
OBJETIVOS: • Calcular Integrales Dobles. • Invertir el orden de integración. • Calcular Volúmenes. • Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. • Calcular áreas de una Superficie.

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Integración Múltiple

5.1INTEGRALES DOBLES
5.1.1 DEFINICIÓN
La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera:


a

b

⎡ n ⎤ f ( x ) dx = lím ⎢ f xi Δxi ⎥ n→∞ ⎣ i =1 ⎦

∑ ( )

La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva

y = f ( x) en un intervalo [ a, b ] .

Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dosvariables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración sería de la forma denotamos como

[ a, b] × [ c, d ] , es decir un rectángulo de
y

R 2 , la cual la

R.
d
R

c a
b

x

Haciendo particiones de la región iguales:
ym

R , de dimensiones no necesariamente
R

y
Δy m
Δxi

d
ym −1

yj

Δyi

y2 y1

Δy2

c y

Δy1 Δx1
Δx2
xi

0

Δxn

a
x0x1 x2

xn −1

b x
n

x

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Integración Múltiple

La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al área de esta partición, que estaría dada por:

ΔAij = Δxi Δy j

Podemos definir una función de dos variables

R , que para la ij − ésima partición sería:

z = f ( x, y )

en la región

f xi , y j Δxi Δy j
Bien, veamos ahora susignificado geométrico. Observe la gráfica siguiente:

(

)

z

z = f ( x, y )

zi = f xi , y j

(

)

c
a

d

y

Δxi
b

• Δy j

(x , y )
i j

x

El punto

( x , y ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo.
i j

El volumen del dado por:

ij − ésimo

paralelepípedo, denotémoslo como

ΔVij , estaría

ΔVij = f xi , y j Δxi Δy j .
Por tanto, sideseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir:

(

)

V = lim

n→∞ m→∞ j =1

∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δ y
m n i j i i =1

j

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Integración Múltiple

De aquí surge la definición de Integral doble

Sea f una función de dos variables definida en la región plana R = [ a, b ]× [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } Al
n→∞ m→∞ j =1

lim

∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δy
m n i j i i =1

j

se

le

denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera:

∫ ∫ f ( x, y)dxdy
c a

d

b

Además, si existe este límite decimos que f es integrable en R .
Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la Integraldoble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómo evaluarla. En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, pero surge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema.

5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Sea f una función de dos variable definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c≤ y ≤ d } Si f está acotada en R y si f es continua en R a excepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R .
Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la función es continua será integrable. 152

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Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble.

5.1.3 TEOREMA...
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