FRACCIONES PARCIALES

INGENIERIA CIVIL INDUSTRIAL
CATEDRA DE ALGEBRA I
PROFESOR ESTEBAN MUÑOZ

FRACCIONES PARCIALES
Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones
racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
Hay cuatro casos:
1) Descomposición en fracciones parciales en la cual cada denominador
es lineal.
2) Descomposición en fracciones parciales con un factor lineal repetido.

3)Descomposición en fracciones parciales con un factor cuadrático
irreducible.
4) Descomposición en fracciones parciales con factor cuadrático
repetido.
Procedimiento para: Descomposición en fracciones parciales en la cual
cada denominador es lineal.
Paso 1:
Siempre me debo de fijar si el grado de la función del numerador es
menor que la del denominador. Si es mayor debo realizar una división
largapara bajar el grado de la función del numerador.
Paso 2:
Debo factorizar el denominador para obtener un producto de factores
lineales,
px +q, o factores cuadráticos irreductibles, ax 2 + bx + c , y
agrupar los factores repetidos para que la función del denominador sea
m
un producto de factores diferentes de la forma ( px + q ) , donde m ≥ 1 o

(ax

2

+ bx + c

)

n

los números m y n no puedenser negativos.

1

Paso 3:
Si son Descomposición en fracciones parciales en la cual cada
denominador es lineal o fracciones parciales con un factor lineal
repetido.
A
B
+
+ ...
primer factor segundo factor

Ejemplo 1:
Determinar la descomposición en fracciones parciales de:
4 x 2 + 13 x − 9
x 3 + 2 x 2 − 3x
Primero observo que el numerador tiene grado 2 y el denominador grado
3 por lo tanto notengo que hacer una división larga.
Segundo: factorizo el denominador

(

)

x 3 + 2 x 2 − 3 x = x x 2 + 2 x − 3 = x( x + 3)( x − 1)
Tercero: coloco cada factor obtenido de la siguiente forma
4 x 2 + 13 x − 9 A
B
C
= +
+
3
2
x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
4 x 2 + 13 x − 9 = A( x + 3)( x − 1) + B( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3)
Podemosresolverlo por matrices o por el método que más nos convenga:
Opero los paréntesis

(

) (

) (

4 x 2 + 13 x − 9 = A x 2 + 2 x − 3 + B x 2 − x + C x 2 + 3 x

)

Ahora formo mi primera ecuación con los términos al cuadrado asi

2

(

) ( ) (
)
+ 2 Ax − 3 A) + (Bx − Bx ) + (Cx + 3Cx )

4 x 2 + 13 x − 9 = A x 2 + 2 x − 3 + B x 2 − x + C x 2 + 3 x

(

4 x 2 + 13 x − 9 = Ax 2

2

2

4 x 2 + 13 x − 9= Ax 2 + 2 Ax − 3 A + Bx 2 − Bx + Cx 2 + 3Cx
4 x 2 + 13 x − 9 = Ax 2 + Bx 2 + Cx 2 + 2 Ax − Bx + 3Cx − 3 A
4 x + 13 x − 9 = x ( A + B + C ) + x(2 A − B + 3C ) − 3 A
2

2

Multiplico las letras en los paréntesis
Quito los paréntesis
Los ordeno
Factorizo asi

Mis tres ecuaciones son:
+ 1A + 1B + 1C = 4
2 A − 1B + 3C = +13
− 9 = −3 A
Tomo la tercera ecuación y encuentro el valor de A
− 9 = −3 A
−9=A
−3
3= A
Sustituyo los valores de A en las otras dos ecuaciones
+ 1A + 1B + 1C

(3)(1) + B + C = 4

=4

3+ B +C =4
B+C =4−3
B + C =1
2 A − 1B + 3C

(2)(3) − B + 3C = 13

= +13

6 − B + 3C = 13
− B + 3C = 13 − 6
− B + 3C = 7
Resuelvo las dos ecuaciones obteniendo asi los valores de B y C
B + C =1
− B + 3C = 7
4C = 8
C=2

B + C =1
B + 2 =1
B = 1− 2
B = −1

3

Coloco las respuestas en la letracorrespondiente
4 x 2 + 13 x − 9 A
B
C
3
1
2
= +
+
= −
+
3
2
x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1 x x + 3 x − 1

Hay otro sistema que se puede usar únicamente cuando los términos son
lineales y no repetidos que es mucho mas fácil.

4 x 2 + 13 x − 9 A
B
C
= +
+
3
2
x + 2 x − 3x x x + 3 x − 1
Obtengo el mínimo común denominador, lo opero y lo igualo al numerador.
4 x 2 + 13 x − 9 = A(x + 3)( x − 1) + B( x )( x −1) + C ( x )( x + 3)
Igualo a cero cada uno de los factores del denominador de la fracción
parcial
x+3= 0
x −1 = 0
x=0
x = −3
x =1
Ahora sustituyo los valores de x
x = 0
4 x 2 + 13 x − 9 = A(x + 3)( x − 1) + B ( x )( x − 1) + C ( x )( x + 3)

4(0 ) + 13(0 ) − 9 = A(0 + 3)(0 − 1) + B(0 )(0 − 1) + C (0 )(0 + 3)
2

0 + 0 − 9 = A(3)(− 1) + 0 B + 0C
− 9 = −3 A
3= A

x = -3
4 x 2 + 13 x − 9 = A(x +...