Integral de Duhammel

Capítulo 7

RESPUESTA A CARGA
DINAMICA GENERAL

7.1

INTEGRAL DE DUHAMEL

p(t)

p()
t



d

(t-
Respuesta du(t)

Figura 7.1

Derivación de la integral de Duhamel (no amortiguado)

El procedimiento descrito en el Capítulo 6 para evaluar la respuesta de la estructura a impulsos de corta duración
sirve de base para evaluar la respuesta a carga dinámica general.Considerar la carga dinámica general p(t) de la
Figura 7.1, mas específicamente la intensidad de carga p() actuando en el tiempo t=. Esta carga que actúa
durante el intervalo corto de tiempo d produce un impulso de corta duración p()d sobre la estructura y la
ecuación 6.27 puede usarse para evaluar la respuesta de este impulso, se debe notar que aunque este
procedimiento es aproximado se vuelveexacto cuando la duración de la carga se aproxima a acero. Por tanto para
un intervalo de tiempo d, la respuesta producida por la carga p() es:
Para t >

du(t ) 

p( ) d
m n

sen n  (t   )

(7.1)

72

Conceptos generales en el análisis dinámico

En esta expresión el término du(t) representa la respuesta diferencial al impulso diferencial y no la variación de u
duranteel intervalo de tiempo dt.
El histograma de carga completo consiste de una sucesión de impulsos cortos, cada uno de ellos produce su
propia respuesta diferencial. La respuesta total a la carga arbitraria es la suma de todos los impulsos de duración
d, es decir:

u(t ) 

1
m n

t

 p  sen (t   )d
( )

(7.2)

n

0

esta es una expresión exacta llamada integral deDuhamel. Debido a que esta basada en el principio de
superposición solamente es aplicable a estructuras linealmente elásticas.
En la ecuación 7.2 se asume tácitamente que la carga se inicia en el tiempo t=0 cuando la estructura esta en

reposo; para condiciones iniciales distintas del reposo u (0)  0 y u (0)  0 se añade la respuesta en vibración
libre a la solución, entonces se tiene:


u (0)

u (t ) 

n

sen n t  u (0) cos  n t 

t

1
m n

 p  sen
( )

n (t

  )d

(7.3)

0

usando la integral de Duhamel para un SDF no amortiguado la repuesta se determina asumiendo condiciones
iniciales en reposo para una fuerza p(t)=p0 y t>0, entonces la ecuación 7.2 es:
t

u(t ) 

p0
p
sen n (t   )d  0
m n
m n


0

7.2

t

 cos  n(t   ) 
p0
(1  cos  nt )

 
n
k

0

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA NO AMORTIGUADO.

Si la función de carga es integrable, la respuesta dinámica de la estructura puede ser evaluada por integración
formal de la ecuación 7.2 ó 7.3; sin embargo en muchos casos la carga es conocida solo de datos experimentales,
y la respuesta debe ser evaluada por procesos numéricos. Parael análisis es práctico utilizar la identidad
trigonométrica sen( n t   n )  sen n t  cos  n  cos  n t  sen n para reformular la ecuación 7.2:

u (t )  sen n t

1
m n

t



p ( )  cos  n  d  cos  n t

0

1
m n

t

p

( )

 sen n  d

0

ó

u (t )  A(t )  sen n t  B(t )  cos  n t

(7.4)

donde:

A(t ) 

1
m n

tp

( )

 cos  n  d

0

(7.5)

B(t ) 

1
m n

t

 p  sen   d
( )

0

n

73

Conceptos generales en el análisis dinámico

7.3

INTEGRAL DE DUHAMEL PARA UN SISTEMA AMORTIGUADO.

El análisis para obtener la integral de Duhamel que expresa la respuesta de un sistema amortiguado a una carga
general es similar al análisis para un sistema no amortiguado, conla única variante que la respuesta en vibración
libre iniciada por un impulso diferencial p()·d esta sujeta a un decremento exponencial. De este modo

estableciendo u(0)=0 y u (0)  ( p ( ) d ) / m en la ecuación 4.15 da:

 p ( ) d

du (t )  e  n (t  ) 
sen D (t   )
 m D




(7.6)

la respuesta de la carga total arbitraria es:

u (t ) 

t

1
m...