Integral De Lebesgue
Páginas: 3 (530 palabras)
Publicado: 7 de julio de 2015
Integral de Lebesgue
La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemannpuede integrar fácilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo lascuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.8 La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada.
Así,la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesguecoincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.
Paraexplotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:9 "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] ensubintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está particionando es el recorrido de f".
Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica deun conjunto medible A por:
.
Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:
(donde la imagen de Ai al aplicarle lafunción escalonada s es el valor constante ai). Así, si E es un conjunto medible, se define
Entonces, para cualquier función medible no negativa f se define
Es decir, se establece que la integralde f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquieraf, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de...
La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico). Por ejemplo, la integral de Riemannpuede integrar fácilmente la densidad para obtener la masa de una viga de acero, pero no se puede adaptar a una bola de acero que se apoya encima. Esto motiva la creación de otras definiciones, bajo lascuales se puede integrar un surtido más amplio de funciones.8 La integral de Lebesgue, en particular, logra una gran flexibilidad a base de centrar la atención en los pesos de la suma ponderada.
Así,la definición de la integral de Lebesgue empieza con una medida, μ. En el caso más sencillo, la medida de Lebesgue μ(A) de un intervalo A = [a, b] es su ancho, b − a, así la integral de Lebesguecoincide con la integral de Riemann cuando existen ambas. En casos más complicados, los conjuntos a medir pueden estar altamente fragmentados, sin continuidad y sin ningún parecido a intervalos.
Paraexplotar esta flexibilidad, la integral de Lebesgue invierte el enfoque de la suma ponderada. Como expresa Folland:9 "Para calcular la integral de Riemann de f, se particiona el dominio [a, b] ensubintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "de hecho lo que se está particionando es el recorrido de f".
Un enfoque habitual define primero la integral de la función característica deun conjunto medible A por:
.
Esto se extiende por linealidad a las funciones escalonadas simples, que sólo tienen un número finito n, de valores diferentes no negativos:
(donde la imagen de Ai al aplicarle lafunción escalonada s es el valor constante ai). Así, si E es un conjunto medible, se define
Entonces, para cualquier función medible no negativa f se define
Es decir, se establece que la integralde f es el supremo de todas las integrales de funciones escalonadas que son más pequeñas o iguales que f. Una función medible cualquieraf, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de...
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