Lebesgue

sNúmero de Lebesgue.
24 de mayo de 2011
Definición: Sea (X, d) un espacio métrico y A un subconjunto no vacío de X. Por cada x ∈ X, definimos la distancia de x a A por la ecuación d(x, A) = in f{d(x, a)|a ∈ A}. Lema de número de Lebesgue.Sea A un cubrimiento abierto del espacio métrico (X, d). Si X es compacto, existe un δ > 0 tal que para cada subconjunto de X de diámetro menor que δ , existeun elemento de A que lo contiene. El numero δ es llamado número de Lebesgue para el cubrimiento A. Prueba: Sea A un cubrimiento de X. Si X es un elemento de A, entonces cualquier número positivo es unnúmero de Lebesgue para A. Luego asumamos que X no es un elemento de A. Escojamos una subcolección finita {A1 , . . . , An } de A que cubre X. Para cadai, el conjunto Ci = X − Ai ,y se define f : X → Rsiendo f (x) el promedio de los números d(x,Ci). Que es, f (x) = 1 n ∑ d(x,Ci ). n i=1

Mostraremos que f (x) > 0 para todo x, dado x ∈ X, escogemos un i tal que x ∈ Ai . Entonces se elige un ε paraque la vecidad con radio ε de x este en Ai . Entonces d(x,Ci) ≥ ε, tal que f (x) ≥ ε/n. Dado que f es continua, tiene un valor mínimo δ , mostraremos que δ es nuestro número de Lebesgue requerido.Sea B un subconjunto de X de diámetro menor que δ . Elijamos un punto x0 de B; entonces B está en la δ -vecindad de x0 . Ahora δ ≤ f (x0 ) ≤ d(x0 ,Cm ), donde d(x0 ,Cm ) es la más larga de los númerosd(x0 ,Ci ). Entonces la δ -vecindad de x0 esta contenida en el elemento Am = X −Cm de la cubierta de A. Definición: Una función f de un espacio métrico (X, dX ) a el espacio métrico (Y, dY ) se dice quees uniformemente continua si dado un ε > 0, existe un δ > 0 talque para cada par de puntos x0 , x1 de X, dX (x0 , x1 ) < δ =⇒ dY ( f (x0 ), f (x1 )) < ε 1

Teorema continuidad uniforme. Sea f : X→ Y una función continua del espacio métrico compacto (X, dX ) al espacio métrico (Y, dY ). Entonces f es uniformemente continua. Dado ε > 0, tomar el recubrimiento abierto de Y por las bolas B(a,...