medida e integral DE LEBESGUE

Una introducci´
on a la medida e integral
de Lebesgue
Roberto Quezada Batalla
Departamento de Matem´aticas, UAM-I

2

´Indice general
1. La Integral de Riemann

5

2. La medida de Lebesgue
2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. La medida exterior de Lebesgue . . . . . .
2.3. La σ-´algebra de los subconjuntos medibles
2.4. Subconjuntos no medibles . . . . . . . . .
2.5.Espacios de medida . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

17
17
18
21
34
36

3. Funciones medibles
39
3.1. Casi dondequiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2. Los teoremas de Egoroff y Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. La integral deLebesgue
49
4.1. La integral de funciones no negativas. . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. La integral de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5. Ap´
endice

71

3

4

´INDICE GENERAL

Introducci´
on
Estas notas son una breve introducci´on a la teor´ıa de la medida e integral
de Lebesgue, incluyen conceptos y resultados considerados cl´asicos y que todo
joven matem´aticodebe conocer.
Hemos hecho un intento serio por hacer accesible al lector los resultados m´as
importantes de la teor´ıa en toda su extensi´on sin simplificarlos, discuti´endolos
de una manera completa y sin dejar huecos. Para entender el material de estas
notas s´olo se necesita un buen conocimieto del C´alculo Diferencial e Integral,
en la forma que se desarrolla en los cursos de C´alculo Avanzado.No obstante,
al final de las notas hemos incluido un ap´endice con algunos de los conceptos
usados a lo largo de ellas.
Nuestro objetivo principal es presentar aquellas partes de la teor´ıa que son
indispensables y encuentran aplicaci´on inmediata en otras ´areas, por ejemplo
en Probabilidad y en F´ısica Matem´atica. Consecuentemente, otros temas como
integraci´on y diferenciaci´on, medidas enespacios abstractos, espacios Lp , series
de Fourier, integral de Lebesgue-Stieltjes, tambi´en considerados cl´asicos, han
quedado fuera. Los lectores interesados en estos temas pueden estudiarlos en
los cursos m´as avanzados de An´alisis Matem´atico o bien pueden leerlos en las
referencias incluidas al final de las notas.
El Cap´ıtulo 1 contiene un breve repaso de la integral de Riemann, presentadade una manera tal que la integral de Lebesgue resulta ser una extensi´on natural
de ella obtenida al reemplazar la clase de las funciones aproximantes, funciones
escalonadas, por la clase m´as general de las funciones simples.
La medida de Lebesgue en la recta real se desarrolla en el Cap´ıtulo 2, incluyendo la construcci´on de la σ-´algebra de los subconjuntos Lebesgue-medibles
a partir de lacondici´on de Caratheodory, que interpretamos como una condici´on de separabilidad; en la Proposici´on 2.3.17 demostramos varias condiciones
equivalentes a la de Caratheodory, las cuales permiten interpretar de manera
intuitiva el concepto de medibilidad.
La clase de las funciones medibles se trata en el Cap´ıtulo 3, incluyendo los
resultados sobre aproximaci´on por funciones continuas. La integralde Lebesgue
se trata en el Cap´ıtulo 4, primero para funciones medibles y acotadas definidas
en subconjuntos de medida finita, despu´es extendemos este concepto a la clase de
funciones medibles no negativas y finalmente a la clase de las funciones medibles
con valores complejos.
Consideramos que esta es una versi´on preliminar de las notas porque todav´ıa
requieren ser completadas, por ejemplo enla parte de los ejercicios para el
estudiante.

Cap´ıtulo 1

La Integral de Riemann
Recordemos brevemente la construcci´on y algunas propiedades de la integral
de Riemann en intervalos acotados de R.
Una partici´on P de [a, b] es una colecci´on finita
{x0 = a < x1 < . . . < xn = b}. La norma de P es P = m´ax0≤j≤n |xj − xj−1 |.
Sean P una partici´on de [a, b], f una funci´on definida en [a, b] y...