Notas de teoria de la medida e integral de lebesgue

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Notas de teoria de la medida
Jesús Armando Baldenebro Obeso Universidad Autónoma de Querétaro. Agosto 2006

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Índice general
1. Espacios medibles y sigma-álgebras 1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sigma-álgebras . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones medibles . . . . . . . . . 1.4. Funciones de valor complejo . . . . 1.5. Funciones entre espacios medibles . 5 5 5 6 13 13. . . . .

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2. Medidas 15 2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3. Construcción de la medida de Lebesgue en RN 3.1. Preliminares . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3.2. Existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Resultados adicionales sobre la medida de Lebesgue (opcional). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Invariancia euclidiana (opcional) . . . . . . . . . . . . . 21 . 21 . 22 . 32 . 35 41 41 41 44 51 51 51 55 59 60 62

4. Integrales 4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 4.2. Integrales de funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Integrales de funciones medibles no negativas . . . . . . . 5. El teorema de convergencia dominada y sus aplicaciones 5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Funciones integrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Aplicaciones del Teorema de Convergencia Dominada deLebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. El conjunto de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. La función de Cantor (opcional) . . . . . . . . . . . . . . 5.6. La función modi…cada de Cantor (opcional) . . . . . . . 3

5.7. Integral de Riemann. Comparación con la integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6. Los 6.1. 6.2.6.3. 6.4. espacios de Lebesgue Lp Introducción . . . . . . . . . . . . . Espacios normados. El espacios L1 Los espacios Lp ; 1 p < +1: . . . El espacio L1 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 67 67 67 69 74 77 77 78 80 84 88

7. Diferentes tipos de convergencia 7.1. Introducción . . . . . . . . . . . 7.2. Convergencia en Lp : . . . . . . 7.3. Convergencia en medida . . . . 7.4. Convergencia casi uniforme . . . 7.5. Teorema de Lusin (opcional) . .

8. Teorema de Radon-Nikodym 8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Teorema dedescomposición de Hahn . . . . . . . . . . 8.3. Medidas absolutamente continuas. Teorema de RadonNikodym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Teorema de representación de Riesz . . . . . . . . . . . 9. Generación de medidas. El teorema Caratheódory 9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Álgebras y medidas en álgebras . . . 9.3. Extensión de medidas . . . . . . . . . 9.4.Medida de Lebesgue-Stieltjes . . . . . 9.5. Funcionales lineales en C . . . . . . . 9.6. Compleción de medidas (opcional) . .

91 . 91 . 91 . 95 . 100

de extensión de 105 . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . 105 . . . . . . . . . . . 107 . . . . . . . . . . . 113 . . . . . . . . . . . 114 . . . . . . . . . . . 117

10.Medidas producto 121 10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 121 10.2. Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.3. Teorema de Tonelli y Teorema de Fubini . . . . . . . . . 125

4

Capítulo 1 Espacios medibles y sigma-álgebras
1.1. Introducción

En este capítulo exploraremos algunas cuestiones preliminares sobre espacios medibles. La idea es establecer una generalización del concepto de longitud,...
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