Integral Definida

INTEGRAL DEFINIDA AL AREA BAJO UNA CURVA

Introducción
Este artículo permite captar rápidamente la interpretación geométrica de la Integral Definida: área bajo la curva entre dos puntos dados. Se utiliza un procedimiento diferente al deaproximaciones sucesivas de rectángulos, usualmente empleado; contiene al de integración por medio de trapecios y es consecuencia de un enfoque propuesto para el cálculo de áreas de polígonos.
Para su comprensión es conveniente la consulta del artículo: Área de los Polígonos- enfoque para el cálculo, publicado en monografías.com, por cuanto se utiliza la fórmula general de cálculo propuesta en elmencionado trabajo. No obstante, en forma rápida, introduciremos la fórmula para el caso de figuras de tres y cuatro lados.
Propiedades de la integrales definidas
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], laintegral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Suma de Riemann
Es un método de integración numérica que nos sirve para calcular elvalor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. Elproblema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
* una función
donde D es un subconjunto de los números reales
* I = [a, b] un intervalo cerrado contenido en D.
* Un conjunto finito de puntos {x0, x1, x2, ... xn} tales que a = x0 < x1 < x2 ... < xn = b
crean una partición de IP = {[x0, x1), [x1,x2), ... [xn-1, xn]}
Si P es una partición con n elementos de I, entonces la suma de Riemann de f sobre I con la partición P se define como

donde xi-1 ≤ yi ≤ xi. La elección de yi en este intervalo es arbitraria .Si yi = xi-1 para todo i, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la izquierda. Si yi = xi, entonces denominamos S como la suma de Riemann por la derecha. Promediando lassumas izquierda y derecha de Riemann obtenemos la llamada suma trapezoidal.
Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:
Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde dondelevantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superfie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos D S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que elsegmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que:
D A =½(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se tiene
D A =½(f(x) + f(x+D x))D x
y al evaluar el límite cuando D x tiende a cero:
Lim D A =Lim ½(f(x) + f(x+D x)) =½(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0).
D x
Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una función primitiva de...