Integral Definida

INTEGRAL DEFINIDA

El problema que nos planteamos ahora es calcular el área de dicho trapecio mixtilíneo, área que dependerá de la función f y del intervalo
Una vez que sepamos calcular el área de este tipo de recintos podremos hallar la superficie de recintos más complicados, descomponiendo la región en trapecios mixtilíneos.
Veamos como desarrollamos el proceso:

El problema que nosplanteamos ahora es calcular el área de dicho trapecio mixtilíneo, área que dependerá de la función f y del intervalo
Una vez que sepamos calcular el área de este tipo de recintos podremos hallar la superficie de recintos más complicados, descomponiendo la región en trapecios mixtilíneos.
Veamos como desarrollamos el proceso:

Sea f una función continua y positiva en el intervalo Lagráfica de la función f, y las rectas x = a, x = b e y = 0, determinan una región del plano que recibe el nombre de trapecio mixtilíneo.

PARTICIÓN DE UN INTERVALO.

Se llama PARTICIÓN de un intervalo a una sucesión P de puntos del intervalo de los cuales el primero coincide con a y el último coincide con b; es decir,
tal que
Se llama DIÁMETRO de una partición P a la mayor de lasdiferencias tal que

Sean dos particiones P y Q del mismo intervalo cerrado Se dice que la partición Q es más fina que la partición P, si se verifica que todo punto de P pertenece a Q, es decir, Q tiene los mismos puntos que P y algunos más.
Esta relación así definida hace que el conjunto de particiones de un intervalo sea un conjunto ordenado.

SUMA INFERIOR Y SUMA SUPERIOR.

Seaf(x) una función continua en que supondremos que se mantiene positiva en dicho intervalo. Por el teorema de Weierstrass, la función f(x) alcanzará en dicho intervalo su valor máximo M y su valor mínimo m.
Dada una partición P del intervalo es evidente que si f es continua en también lo será en cada uno de los intervalos tal que

Dada una partición P del intervalo es evidente que sif es continua en también lo será en cada uno de los intervalos tal que

Por tanto, f tendrá, en cada uno de estos intervalos, un máximo y un mínimo, que designaremos por:
el mínimo de f en
el máximo de f en
Se llama SUMA INFERIOR de f asociada a la partición P, y la representaremos por al número real dado por

o más abreviadamente:
Geométricamente, esta suma inferiorcorresponde a la suma de las áreas de los
rectángulos inferiores o inscritos a la gráfica de la función f. Es una aproximación por defecto del área del trapecio mixtilíneo limitado por la gráfica de la función f, el eje OX y las rectas x = a y x = b.
Se llama SUMA SUPERIOR de f asociada a la partición P, y la representaremos por al número real dado por

o más abreviadamenteGeométricamente, esta suma superior corresponde a la suma de las áreas de los rectángulos superiores o circunscritos a la gráfica de la función f. Es una aproximación por exceso del área del trapecio mixtilíneo limitado por la gráfica de la función f, el eje OX y las rectas x = a y x = b.
Es evidente que si f es una función continua en para toda partición P del intervalo se verifica que:
yaque

PROPIEDADES DE LAS SUMAS INFERIORES Y SUPERIORES.

1. Si tenemos dos particiones P y Q del intervalo tales que P Q, entonces se verifica que
y
2. Dadas dos particiones cualesquiera P y Q del intervalo se verifica que

es decir, cualquier suma inferior está acotada por cualquier suma superior o, de otra forma, toda suma inferior es menor que cualquier sumasuperior.

DEFINICIÓN DE ÁREA DEL TRAPECIO MIXTILÍNEO.

Si es una sucesión de particiones del intervalo tales que se obtienen las sucesiones de sumas

siendo la primera creciente y acotada superiormente por cualquier suma superior, la segunda es decreciente y acotada inferiormente por cualquier suma inferior y tendiendo su diferencia a cero, es decir

El límite común de estas...