Integral Definida

14

Integral definida

1. Integral definida

Y

■ Piensa y calcula
Halla, contando, el área de la 2ª figura del margen, la que tiene un signo + dentro. Cada
cuadradito es una unidad cuadrada.

[
2

+

]

X
5

y=x–1

Solución:
Tiene exactamente 7,5 u2

x=2

x=5

● Aplica la teoría
2

1. Calcula

∫

a) F(x) = x – x2
b) F(1) = 0, F(3) = – 6

(5 – x2) dx

–13

Solución:

∫ (5 – x ) dx = – 6 u
2

c)

Y

2

1

3. Siendo |x| el valor absoluto o módulo de x, calcula la

∫

integral definida
X
–1

2

|x| dx
–1

Solución:

2

Y

x3
3
14
22
b) F(– 1) = –
, F(2) =
3
3
a) F(x) = 5x –

∫

X

2

(5 – x2) dx = 12 u2

–1

2

–1
3

2. Calcula

a)

∫ (– 2x + 1) dx

∫

1

2

|x| dx =
–1

∫0

(–x) dx +
–1

∫

2

x dx
0

∫

Sea F(x) = (–x) dx

Solución:
Y

F(x) = –
1

3

X

x2

2
1
F(–1) = – , F(0) = 0
2

∫

0

(–x) dx =
–1

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

c)

12
u
2

∫

G(x) = x dx

456

SOLUCIONARIO

x2
2
G(0) = 0, G(2) = 2

a) F(x) = x(L |x| – 1)
b) F(1) = –1, F(2) = 2(L 2 – 1)

G(x) =

2

c)

2

∫ x dx = 2∫ |x| dx = ∫
0
2

–1

0

∫ L x dx = 2 L 2 – 1 = 0,39 u

2

1

u2
2

5
(– x) dx + x dx =
= 2,5 u2
2
–1
0

∫

6. Calcula el valor de

∫

1

0

x dx
2
ex

Solución:

4. Calcula la derivada de F(x) =

∫

x2

Y

cos t dt

3x

Solución:
F'(x) = 2x cos x2 – 3 cos 3x

X
0

1

2

5. Calcula

∫ L x dx
1

Solución:

1 –x2
e
2
1
1
b)F(0) = – , F(1) = – e–1
2
2
a) F(x) = –

Y
X
1

2

c)

∫

1
0

1
x dx
= (1 – e–1) = 0,32 u2
2
2
ex

2. Cálculo de áreas

Y

■ Piensa y calcula
Halla por aproximación el área de las dos regiones, la amarilla y la verde, del dibujo del
margen. Cada cuadradito es una unidad cuadrada.

A2
1

3

4

X

A1

Solución:
La amarilla, 5 u2 aproximadamente, y laverde 2 u2 aproximadamente.
En total, unas 7 unidades cuadradas.

y = x2 – 2x – 3

x=1

x=4

● Aplica la teoría
7. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de
f(x) = x3 – 3x2 – x + 3, el eje de abscisas y las rectas
x = 0, x = 3
Solución:

Raíces: x1 = –1, x2 = 1, x3 = 3
x4

∫(x – 3x – x + 3) dx = 4 – x –
7
∫ (x – 3x – x + 3) dx = 4 u
∫ (x – 3x – x + 3) dx = – 4 u3

2

3

1

Y

3

2

2

3

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

x2
+ 3x
2

2

2

0
3

X

1
0

1

3

Área =

TEMA 14. INTEGRAL DEFINIDA

23
= 5,75 u2
4

457

8. Halla el área del recinto limitado por la recta y = 3 – 2x
y la parábola y = 2x – x2

Raíces: x = 0
1
x2
dx =
L |x3 – 2|
3–2
3
x

∫
1
x
∫ x – 2 dx = 3 (L 25 – L 6) u

Solución:3

Y

2

2

Área =
3

2

3

X

1
(L 25 – L 6) = 0,48 u2
3

1

11. Resuelve las siguientes cuestiones:
a) Dibuja el recinto limitado por las curvas:
y = ex + 2, y = e –x, y = 0, x = –2, x = 0
b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.

Raíces: x1 = 1, x2 = 3
x3
+ 2x2 – 3x
3

∫
4
∫ (– x + 4x – 3) dx = 3 u
(– x2 + 4x – 3) dx = –Solución:

3

2

Y

2

1

Área =

4
= 1,33 u2
3
X

9. Halla el área de la región plana limitada por la gráfica de
y=

x3

–1

– 4x y el eje X
Raíces: x = – 1

Solución:

∫
∫

Y

–2

X

0

–1

ex + 2 dx = e – 1 u2
–2
0

e–x dx = e – 1 u2
–1

Área = 2e – 2 = 3,44 u2

2

12. Dada la función, definida en los números reales salvo
en x = 0

2
xcalcula el área de la región plana limitada por la gráfica
de f(x) y el semieje positivo X
f(x) = 3 – x –

Raíces: x1 = – 2, x2 = 0, x3 = 2
x4

∫(x – 4x) dx = 4 – 2x
∫ (x – 4x) dx = 4 u
∫ (x – 4x) dx = – 4 u
3

2

0

3

Solución:

2

Y

–2
2

3

2

0

Área = 8 u2

10. Calcula el área de la región limitada por la curva
y=

x2
y las rectas y = 0, x = 2, x = 3
x3...