integral doble

INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES

Si deseamos integrar f función definida dentro de una región R, generalmente lo haríamos evaluando la integral doble ∫∫Rf(x, y)dA) sobre la región deintegración que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas rectangulares.

Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar con ciertas figuras circulares(p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la definición de su región de integración se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadaspolares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con rectangulares.

r2= x2+y2
x= rcos
y= rsinEntonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región R está definida como R=(r,)|a r b,   

El diferencial de área dA se definiría como dA = rdrd

Y la integral quedaríacomo ∫∫R f(x, y) dA = ∫b∫a f (rcos, rsen) rdrd



TEOREMA

Si f es continúa en un rectángulo R dado por 0arb, donde 0-2 entonces,

∫∫R f(x, y) dA = ∫b∫a f (rcos, rsen)rdrd

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de calcular en forma polar que en forma rectangular.

Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o de pétalode curva rosa, e integrando donde aparezca x2+y2




EJERCICIO #1

Recordatorio x2+y2=r2 evaluar:
∫∫(3x+4y2)dA

Donde r es la región del semi-plano superior limitado por los círculosx2+y2=1 y x2+y2=4
R= (x,y)|1r2,02
4∫12∫0 3rcos()+4r2sin2()ddr = 84




EJERCICIO #2
determinar el volumen del sólido acotado por el plano z=0 y el paraboloide z=1-x2-y2D= (r,)|0r1;02

Resolviendo:

2∫∫0 1-r2cos2()-r2sen2()r d dr

2∫∫0 (1-r2) r d dr

Después de integrar:

2∫∫0 (1-r2) r d dr = [\cfrac?]2u3







Ejemplo # 3...