Integral por Sustitucion

Integrales por sustitución:
(El método más empleado)

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertirel integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple.


- Primera explicación:

∫▒〖3x∛(2-x^2 ) dx〗
Primero, tenemos que encontrar los valores "u" y "dx".
El valor usiempre va a ser la parte mas extensa, como que la parte que hace complicada a la integral.
u=2-x^2 ... sacamos su diferencial:
du=-2x dx ... despejamos dx:
dx= du/(-2x)
Ahora, sustituimos losvalores en la fórmula original.
∫▒〖ex∛u ∙du/(-2x) 〗
Terminamos de preparar la integral...
∫▒〖3∛u ∙du/(-2) 〗 -3/2 ∫▒〖∛u ∙du 〗 -3/2 ∫▒〖u^(1/3) ∙du 〗
Ya tenemos una integral"básica" o "directa" que podemos resolver fácilmente:
Integramos con la formula "IV" y nos queda: Y= -9/8 ∛(〖(u)〗^4 ) +C
Por último, sustituimos el valor de u: Y= -9/8 ∛(〖(2-x^2)〗^4 ) +C
*Para comprobar, podemos sacar el diferencial del resultado y nos tiene que dar la integral de la fórmula original. dy=3x∛(2-x^2 ) dx


- Segunda explicación:
∫▒〖2x〖 e〗^(x^2 ) 〗 dxSabemos que el termino que tomaremos como "u" es la parte en rojo, porque si lo derivamos nos dará la parte en azul.
ahora, sacamos los valores de "u" y de "dx".
u= x^2 du/dx=2x du=2x dxdu/2x=dx
Sustituimos las valores obtenidos en la ecuación original.
∫▒〖2x〖 e〗^u 〗 du/2x
Preparamos:
∫▒〖 e〗^u du
Ya tenemos una integral "básica", ahora integramos:
= 〖 e〗^u+ c
Porúltimo, remplazamos el valor de "u":
= 〖 e〗^(x^2 )+ c
Listo, para comprobar sacamos el diferencial:
〖 dy=2x e〗^(x^2 ) dx



- Tercera explicación:
∫▒〖(4x^2 dx)/√(8x^3+3) 〗

Como sabes cuálserá "u"?..
si derivamos el termino del numerador nos quedaría 8x, por lo que no podría ser igual al termino del denominador aun que hiciéramos alguna operación.
En cambio si derivamos el termino...