Integrales: metodo por sustitucion

Método de integración por sustitución [editar]

El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir elintegrando en algo sencillo con una integral o antiderivada simple. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede llevar a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva.Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

Procedimiento práctico [editar]

Supongamos que la integral a resolver es:
[pic]
En la integral reemplazamos [pic]con(u):
[pic](1)
Ahora necesitamos sustituir también [pic]para que la integral quede sólo en función de [pic]:
Tenemos que [pic]por tanto derivando se obtiene [pic]
Se despeja [pic]y se agrega dondecorresponde en (1):
[pic]
Simplificando:
[pic]
Debemos considerar si la sustitución fue útil y por tanto se llegó a una forma mejor, o por el contrario empeoró las cosas. Luego de adquirir prácticaen esta operación, se puede realizar mentalmente. En este caso quedó de una manera más sencilla dado que la primitiva del coseno es el seno.
Como último paso antes de aplicar la regla de Barrow conla primitiva debemos modificar los límites de integración. Sustituimos x por el límite de integración y obtenemos uno nuevo.
En este caso, como se hizo [pic] :
[pic](límite inferior)
[pic](límitesuperior)
Luego de realizar esta operación con ambos límites la integral queda de una forma final:
[pic]

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de lafunción compuesta.
[pic]
Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos paraintegrar por cambio de variable

[pic]
1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
[pic]
[pic]
Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
[pic]
2º Si la integral...