Integral

Campus Puebla Escuela de Ingeniería y Arquitectura Departamento de Ciencias Básicas

Matemáticas para ingeniería II MA1004
Matemáticas II 1

Tema 1. Antiderivada e integral definida


Antiderivada
◦ Concepto ◦ Tablas de antiderivadas



Integral definida
◦ La integral como un área ◦ Sumas de Riemman



Teorema fundamental del Cálculo
Matemáticas II 2

Problema del área◦ En el cálculo diferencial se estudio un problema que resultaba de mucho interés
 Problema de la tangente

◦ La resolución de dicho problema nos llevaba a que existía una relación entre la derivada y la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto.

Matemáticas II

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Problema del área
◦ En el cálculo integral existe un problema similar:
 El problema del área.

◦ Esteproblema se centra en que se conocen métodos/fórmulas para zonas encerradas con lados rectos o de algunas curvas.
 Sin embargo si se tiene una región que no presenta dichas características, el cálculo del área no resulta tan sencillo.

Matemáticas II

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Problema del área
◦ Supongamos la siguiente área
y  

y=f(x)





S  x, y  | a  x  b,0  y  f x 
x=a S x=b





x         



Matemáticas II

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Problema del área
◦ Se han utilizado diferentes técnicas para calcular este tipo de áreas
 Métodos trapezoidales  Métodos de Simpson …

◦ Todos los métodos se basan en la misma idea
 Seccionar la región en subregiones conocidas, normalmente rectángulos.

Matemáticas II

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Problema del área
◦ Supongamos que seccionamosel área mostrada en rectángulos.
 Dichos rectángulos tendrán una base Dxi y una altura f(xi*)
 Supongamos que tomamos intervalos de la misma longitud y tomamos como xi* como el extremo derecho de cada intervalo.

Matemáticas II

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Problema del área
y  







S  R1  R2  R3  R4
R1 R2 R3 R4
x

























MatemáticasII

8

Problema del área
◦ El resultado obtenido es una aproximación hecha con 4 rectángulos. ◦ Si se aumenta el número de rectángulos la aproximación mejorará.

Matemáticas II

9

Problema del área
y 
 y



n=10



n=25






y  

 y  

 

 

 

n=50
x       
 

 

n=100
x        







 

 







x                  

x





Matemáticas II

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Problema del área
◦ Se observa que conforme el número de rectángulos aumenta el área calculada se aproxima cada vez más al área real. ◦ El área de cada rectángulo se calcularía como

ba Ri  f xi    n 
Matemáticas II 11

Problema del área
◦ Entonces el área de la región Svendrá dada por la suma de todos los rectángulos.

AS  R1  R2  ...  Rn
AS   Ri  
i 1 i 1 n n

ba f xi    n 
Matemáticas II 12

Problema del área
◦ El área de la región S será “exacta” si partimos la región en un número infinito de rectángulos, lo que nos lleva

ba AS  lim  f xi   n   n  i 1
n
Matemáticas II 13

Integral definida
◦ El cálculo delárea de una región S mediante la suma de pequeños rectángulos es lo que se conoce como Sumas de Riemann ◦ La integral definida se define como el límite de una suma de Riemann.

Matemáticas II

18

Integral definida
◦ Se tiene que:


a

b

f x dx  lim  f x Dx
n  i 1 * i

n

 

◦ donde f(x) es una función integrable y definida en el intervalo [a, b] y el límite debeexistir.

Matemáticas II

19

Integral definida


Propiedades de la integral definida

 f x dx    f x dx
a a b

b

a

 f x dx  0
a

 cdx  cb  a 
a

b

 cf x dx  c  f x dx
a a

b

b

Matemáticas II

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Integral definida


Propiedades de la integral definida

  f x   g x dx   f x dx   g x dx
a c b a b a

b...