Integral

ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR DE BURGOS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y COMPUTACIÓN.

GRADO DE I. MECÁNICA

TEMA 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES: CÁLCULO DIFERENCIAL
Funciones reales de variasvariables reales: Definiciones básicas. Límites y continuidad.
Derivadas parciales. Diferenciación. Plano tangente a una superficie en un punto.
Funciones vectoriales de varias variables reales:Continuidad, derivabilidad (existencia de
derivadas parciales) y diferenciabilidad de funciones vectoriales. Diferenciación y operaciones
algebraicas. Regla de la cadena.
Extremos relativos. Extremoscondicionados. Extremos absolutos. Funciones implícitas.

1.1.-DEFINICIONES BASICAS


Trabajamos en el espacio euclídeo  n con el producto escalar:



siendo x  ( x1 , x2 , ... , xn ) ,x. y  x1 y1  x2 y2 ... xn yn ,
y  ( y1 , y2 , ... , yn ) ,
elementos que denominaremos indistintamente puntos o vectores de  n ,

2
2
2
x  x1  x2 ... xn
la norma:


d ( x,y)  x  y  ( x1  y1 ) 2  ( x2  y 2 ) 2  ...  ( xn  y n ) 2
y la distancia:
 n , tienen las mismas propiedades, que el
2
3
producto escalar, el módulo o norma y la distancia en el plano y en el espacio  .

Nota:

El producto escalar, la norma y la distancia así definidos en

D.1.1.1.

Bolas abiertas y bolas cerradas:

Se llama bola abierta de centro a   n y radio r  0al conjunto



B ( a , r )   x   n / d ( x , a )  r

Se llama bola cerrada de centro a   n y radio r  0 al conjunto



B( a , r )   x   n / d ( x , a )  r D.1.1.2.

Conjunto abierto, conjunto cerrado; conjunto acotado; conjunto compacto:
Se dice que un conjunto A   n es abierto si




a  A ra  0 tal que B(a , ra )  A
Se dice que un conjuntoB   n es cerrado cuando su complementario B c   n  B
es un conjunto abierto.
Se dice que un conjunto K   n es acotado si existe una bola que lo contiene.
Se dice que un conjunto K   n...